Кота и доску можно рассматривать как единую систему. На них не действуют диссипативные силы, а значит энергия системы сохраняется . Возьмём два состояния системы кот-доска: в момент времени, когда кот и доска только начали движение (при условии, что их начальные скорости равны 0) и момент времени ровно через секунду. Тогда закон сохранения энергии:
Потенциальные энергии равны нулю, т.к. всё находится прямо на земле (полу) .
Но в первом состоянии скорости равны нулю. Тогда
Однако мы приняли, что , тогда ( имеет размерность , это не та размерность, которая получится при умножении ускорения на время, а - только численное значение, поэтому и дописываем размерность ).
Ускорение получилось отрицательным, потому что доска должна двигаться (или по крайней мере ускоряться) в противоположном направлению движения кота направлении.
так как шарики с зарядом q каждый сначала находятся на расстоянии l друг от друга, то силу отталкивания между ними f0 можно найти из закона кулона по такой формуле:
f0=kq2l2(1)
изначально каждый из шариков будет находиться в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести mg, силы натяжения нити t0 и силы кулоновского отталкивания f0 (смотрите левую часть схемы к решению). учитывая (1), запишем первый закон ньютона в проекции на оси x и y:
⎧⎩⎨t0⋅cosα=mgt0⋅sinα=kq2l2
поделим нижнее равенство системы на верхнее, тогда получим:
tgα=kq2mgl2(2)
после того как один из шаров разрядят, между шарами исчезнет сила отталкивания, они придут в движении и, столкнувшись, разделят заряд q одного из шариков поровну (то есть теперь на каждом из шаров заряд равен q2). далее шары опять разойдутся так, что расстояние между ними станет равным l (смотрите правую часть схемы). теперь сила отталкивания между шариками f по закону кулона равна:
f=kq24l2(3)
теперь на каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити t и сила кулоновского отталкивания f. шарики опять находятся в равновесии, поэтому, учитывая (3), опять запишем первый закон ньютона в проекциях на оси координат:
⎧⎩⎨t⋅cosβ=mgt⋅sinβ=kq24l2
аналогично поделим нижнее равенство на верхнее:
tgβ=kq24mgl2(4)
теперь поделим (2) на (4):
tgαtgβ=kq2⋅4mgl2mgl2⋅kq2 tgαtgβ=4l2l2
в условии сказано, что шарики подвешены на длинных нитях, значит углы α и β — малые, поэтому справедливо равенство sinα≈tgα и sinβ≈tgβ. тогда:
sinαsinβ=4l2l2
из рисунка понятно, что sinα=l2a и sinβ=l2a (здесь a — длина нити), значит:
Дано:
Найти:
Решение:
Кота и доску можно рассматривать как единую систему. На них не действуют диссипативные силы, а значит энергия системы сохраняется . Возьмём два состояния системы кот-доска: в момент времени, когда кот и доска только начали движение (при условии, что их начальные скорости равны 0) и момент времени ровно через секунду. Тогда закон сохранения энергии:
Потенциальные энергии равны нулю, т.к. всё находится прямо на земле (полу) .
Но в первом состоянии скорости равны нулю. Тогда
Однако мы приняли, что , тогда ( имеет размерность , это не та размерность, которая получится при умножении ускорения на время, а - только численное значение, поэтому и дописываем размерность ).
Таким образом, получим:
<p>\frac{{m}_{к}\times {(|{a}_{к}|\frac{м}{с})}^{2}}{2} + \frac{{m}_{д}\times {(|{a}_{д}|\frac{м}{с})}^{2}}{2}=0 \: \vert : \frac{{m}_{к}}{2}\\1 \: \frac{{м}^{2} }{{с}^{2}} + 4{(|{a}_{д}|\frac{м}{с})}^{2} = 0 \\ |{a}_{д}|\frac{м}{с} = -0.25\frac{м}{с} \\ {a}_{д} = -0.25\frac{м}{{с}^{2}}" class="latex-formula" id="TexFormula14" src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D%5Cfrac%7B%7Bm%7D_%7B%D0%BA%7D%5Ctimes%20%7B%28%7Ba%7D_%7B%D0%BA%7Dt%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7Bm%7D_%7B%D0%B4%7D%5Ctimes%20%7B%28%7Ba%7D_%7B%D0%B4%7Dt%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%5Cfrac%7B%7Bm%7D_%7B%D0%BA%7D%5Ctimes%20%7B%28%7C%7Ba%7D_%7B%D0%BA%7D%7C%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%D1%81%7D%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7Bm%7D_%7B%D0%B4%7D%5Ctimes%20%7B%28%7C%7Ba%7D_%7B%D0%B4%7D%7C%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%D1%81%7D%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D0%20%5C%3A%20%5Cvert%20%3A%20%5Cfrac%7B%7Bm%7D_%7B%D0%BA%7D%7D%7B2%7D%5C%5C1%20%5C%3A%20%20%5Cfrac%7B%7B%D0%BC%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B%7B%D1%81%7D%5E%7B2%7D%7D%20%20%20%2B%204%7B%28%7C%7Ba%7D_%7B%D0%B4%7D%7C%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%D1%81%7D%29%7D%5E%7B2%7D%20%3D%200%20%5C%5C%20%7C%7Ba%7D_%7B%D0%B4%7D%7C%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%D1%81%7D%20%3D%20-0.25%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%D1%81%7D%20%5C%5C%20%7Ba%7D_%7B%D0%B4%7D%20%3D%20-0.25%5Cfrac%7B%D0%BC%7D%7B%7B%D1%81%7D%5E%7B2%7D%7D" title="0=\frac{{m}_{к}\times {({a}_{к}t)}^{2}}{2} + \frac{{m}_{д}\times {({a}_{д}t)}^{2}}{2}\\</p><p>\frac{{m}_{к}\times {(|{a}_{к}|\frac{м}{с})}^{2}}{2} + \frac{{m}_{д}\times {(|{a}_{д}|\frac{м}{с})}^{2}}{2}=0 \: \vert : \frac{{m}_{к}}{2}\\1 \: \frac{{м}^{2} }{{с}^{2}} + 4{(|{a}_{д}|\frac{м}{с})}^{2} = 0 \\ |{a}_{д}|\frac{м}{с} = -0.25\frac{м}{с} \\ {a}_{д} = -0.25\frac{м}{{с}^{2}}">
Ускорение получилось отрицательным, потому что доска должна двигаться (или по крайней мере ускоряться) в противоположном направлению движения кота направлении.
так как шарики с зарядом q каждый сначала находятся на расстоянии l друг от друга, то силу отталкивания между ними f0 можно найти из закона кулона по такой формуле:
f0=kq2l2(1)изначально каждый из шариков будет находиться в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести mg, силы натяжения нити t0 и силы кулоновского отталкивания f0 (смотрите левую часть схемы к решению). учитывая (1), запишем первый закон ньютона в проекции на оси x и y:
⎧⎩⎨t0⋅cosα=mgt0⋅sinα=kq2l2поделим нижнее равенство системы на верхнее, тогда получим:
tgα=kq2mgl2(2)после того как один из шаров разрядят, между шарами исчезнет сила отталкивания, они придут в движении и, столкнувшись, разделят заряд q одного из шариков поровну (то есть теперь на каждом из шаров заряд равен q2). далее шары опять разойдутся так, что расстояние между ними станет равным l (смотрите правую часть схемы). теперь сила отталкивания между шариками f по закону кулона равна:
f=kq24l2(3)теперь на каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити t и сила кулоновского отталкивания f. шарики опять находятся в равновесии, поэтому, учитывая (3), опять запишем первый закон ньютона в проекциях на оси координат:
⎧⎩⎨t⋅cosβ=mgt⋅sinβ=kq24l2аналогично поделим нижнее равенство на верхнее:
tgβ=kq24mgl2(4)теперь поделим (2) на (4):
tgαtgβ=kq2⋅4mgl2mgl2⋅kq2 tgαtgβ=4l2l2в условии сказано, что шарики подвешены на длинных нитях, значит углы α и β — малые, поэтому справедливо равенство sinα≈tgα и sinβ≈tgβ. тогда:
sinαsinβ=4l2l2из рисунка понятно, что sinα=l2a и sinβ=l2a (здесь a — длина нити), значит:
l⋅2a2a⋅l=4l2l2 ll=4l2l2 4l3=l3 l=l4–√3посчитаем ответ:
l=0,054–√3=0,031м