На краю гладкой крыши высотой Н лежит брусок массой m = 0,5 кг. В него попадает пуля массой m0 = 15 г, летящая горизонтально со скоростью v0 = 400 м/с. Пробив брусок насквозь, пуля вылетает со скоростью v1 = 200 м/с. В момент падения бруска на землю его скорость будет равна v2 = 14 м/с. Высота крыши Н равна ... м.
Задачу можно решить энергетическим подходом, а можно и через кинематику. Приведу оба варианта.
Пуля сталкивается с покоящимся бруском, приводя его в движение со скоростью V1. Закон сохранения импульса в момент вылета пули из бруска:
m*V1 + m0*υ1 = m0*υ0 - выражаем скорость V1:
m*V1 = m0*υ0 - m0*υ1 = m0*(υ0 - υ1)
V1 = m0*(υ0 - υ1) : m = (m0/m)*(υ0 - υ1)
Дальше - два пути решения:
1) энергетический подход
Предполагается, что на брусок не действуют силы трения и силы сопротивления воздуха. Механическая энергия бруска в момент падения на землю равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:
E = Ep2 + Ek2
Но т.к. потенциальная равна нулю, то механическая энергия равна кинетической:
Е = 0 + Ek2 = Ek2
В начальный момент падения механическая энергия бруска должна быть такой же, как и в момент падения на землю:
E = Ep1 + Ek1
Теперь приравняем оба выражения, подставим вместо V1 выражение из уравнения закона сохранения импульса и выразим H:
Брусок летит вниз не прямо, а по параболе, его движение при этом является движением тела, брошенного горизонтально. Такое движение можно разбить на две составляющие: горизонтальную (по оси Х) и вертикальную (по оси Y). По горизонтали брусок движется с постоянной скоростью V1 и проходит путь, равный:
Sx = Vx*t, где Vx = V1
По вертикали движение бруска неравномерное, с ускорением. Движение - свободное падение:
Sy = gt²/2
Скорость в начале падения равна нулю:
V0y = 0 => Vy = V0y + gt = 0 + gt = gt
Vy = gt - выразим время:
t = Vy/g - и подставим его в формулу вертикального перемещения:
Sy = gt²/2 = (g/2)*(Vy/g)² = Vy²/(2g)
Чтобы выразить Vy, надо понимать, что в момент падения на землю брусок имеет скорость V2, направленную под каким-то углом к земной поверхности. Эту скорость образуют составляющие Vx и Vy. А все три скорости образуют прямоугольный треугольник, из которого можно узнать любую его сторону, если известны две другие, но неизвестен угол. Скорость V2 - это гипотенуза, а скорость Vx = V1 и скорость Vy - это катеты. По правилу Пифагора:
Теперь это можно подставить в формулу для вертикального перемещения, которое и будет равняться высоте крыши:
H = Sy = Vy²/(2g) = (V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²) / (2g) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) - пришли к тому же самому уравнению, что и в первом решении.
Дано:
m = 0,5 кг
m0 = 15 г = 0,015 кг
υ0 = 400 м/с
υ1 = 200 м/с
V2 = 14 м/с
g = 10 м/с²
H - ?
Задачу можно решить энергетическим подходом, а можно и через кинематику. Приведу оба варианта.
Пуля сталкивается с покоящимся бруском, приводя его в движение со скоростью V1. Закон сохранения импульса в момент вылета пули из бруска:
m*V1 + m0*υ1 = m0*υ0 - выражаем скорость V1:
m*V1 = m0*υ0 - m0*υ1 = m0*(υ0 - υ1)
V1 = m0*(υ0 - υ1) : m = (m0/m)*(υ0 - υ1)
Дальше - два пути решения:
1) энергетический подход
Предполагается, что на брусок не действуют силы трения и силы сопротивления воздуха. Механическая энергия бруска в момент падения на землю равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:
E = Ep2 + Ek2
Но т.к. потенциальная равна нулю, то механическая энергия равна кинетической:
Е = 0 + Ek2 = Ek2
В начальный момент падения механическая энергия бруска должна быть такой же, как и в момент падения на землю:
E = Ep1 + Ek1
Теперь приравняем оба выражения, подставим вместо V1 выражение из уравнения закона сохранения импульса и выразим H:
Ek2 = Ep1 + Ek1
mV2²/2 = mgH + mV1²/2 | *(2/m)
V2² = 2gH + ((m0/m)*(υ0 - υ1))²
V2² = 2gH + (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)
2gH = V2² - (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²))/m²
H = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) = (0,5²*14² - 0,015*0,015*(400² - 2*400*200 + 200²)) / (0,5²*2*10) = 8 м
2) через кинематику
Брусок летит вниз не прямо, а по параболе, его движение при этом является движением тела, брошенного горизонтально. Такое движение можно разбить на две составляющие: горизонтальную (по оси Х) и вертикальную (по оси Y). По горизонтали брусок движется с постоянной скоростью V1 и проходит путь, равный:
Sx = Vx*t, где Vx = V1
По вертикали движение бруска неравномерное, с ускорением. Движение - свободное падение:
Sy = gt²/2
Скорость в начале падения равна нулю:
V0y = 0 => Vy = V0y + gt = 0 + gt = gt
Vy = gt - выразим время:
t = Vy/g - и подставим его в формулу вертикального перемещения:
Sy = gt²/2 = (g/2)*(Vy/g)² = Vy²/(2g)
Чтобы выразить Vy, надо понимать, что в момент падения на землю брусок имеет скорость V2, направленную под каким-то углом к земной поверхности. Эту скорость образуют составляющие Vx и Vy. А все три скорости образуют прямоугольный треугольник, из которого можно узнать любую его сторону, если известны две другие, но неизвестен угол. Скорость V2 - это гипотенуза, а скорость Vx = V1 и скорость Vy - это катеты. По правилу Пифагора:
a² = c² - b² => Vy² = V2² - Vx² = V2² - V1² = V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²
Теперь это можно подставить в формулу для вертикального перемещения, которое и будет равняться высоте крыши:
H = Sy = Vy²/(2g) = (V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²) / (2g) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) - пришли к тому же самому уравнению, что и в первом решении.
ответ: 8 м.