Каково соотношение между высотой h горы и глубиной h шахты, если период качания маятника на вершине горы и на дне шахты одинаков?

Соотношение абсурдное, как и условие. Поясним формулами:

Т = 2Пкор(l/g) - период колебаний математического маятника.

Напишем формулы для ускорения свободного падения для разных высот от центра Земли:

g1 = GM /(R+H)^2

g2 = GM /(R-h)^2

Если период не изменился, значит эти значения g должны быть равны.

Приходим к абсурдному соотношению H = -h.

Делаем вывод, что для обеспечения условия задачи, нужно шахту сделать глубиной больше радиуса Земли, то есть пробуриться глубже центра Земли - к антиподам.  Разберем эту ситуацию:

Расстояние до центра Земли от нижней точки шахты: h - R.

Получим следующее уравнение:

R+H = h-R

или:  h - H = 2R  - судите сами: абсурдно это или нет.