Запишем второй закон Ньютона для горизонтального участка:
F – Fсопр – Fтр = 0 , если движение равномерно, где F – сила тяги конькобежца.
F = СSρu²/2 + μmg , где ρ – плотность воздуха, u, S и С – предельная скорость, площадь сечения и характерный коэффициент сопротивления конькобежца.
Запишем второй закон Ньютона для смычки:
v' = ( F – Fсопр – Fтр – mgsinφ ) / m , где φ – текущий угол поворота на смычке; в данном случае Fтр = μN > μmg ! поскольку давление на смычке может быть заметно выше!
Нормальное ускорение в данном случае:
a = v²/R , которое обеспечивается реакцией смычки N за вычетом поперечной к смычке составляющей силы тяжести :
mv²/R = N – mgcosφ , где φ – текущий угол поворота на смычке.
N = mv²/R + mgcosφ ;
Fтр = μN = μmv²/R + μmgcosφ ;
v' = ( F – СSρv²/2 – μmv²/R – μmgcosφ – mgsinφ ) / m ;
Как мы видим, нам необходима максимальная скорость конькобежца u. Будем считать, что это так невнятно дано в виде начальной скорости конькобежца. Учтём ещё, что в нашем случае: arcsin[h/so] ≈ h/so, (h/so)² << 1 и exp(–2μarcsin[h/so]) ≈ 1–2μh/so :
1В самом простом случае постарайтесь изменить степень шероховатости поверхностей соприкасающихся объектов. Этого можно добиться путем шлифовки. Тела, взаимодействующие поверхности которых являются гладкими, доведенными до глянца, будут двигаться друг относительно друга значительно легче.2По возможности замените одну из соприкасающихся поверхностей на ту, которая имеет более низкий коэффициент трения. Это может быть искусственное покрытие; так, тефлон имеет один из самых низких коэффициентов трения, равный 0,02. Изменить проще тот элемент системы, который играет роль инструмента.3Используйте смазочные материалы, введя их между трущимися поверхностями. Этот применяется, например, в лыжном спорте, когда на рабочую поверхность лыж наносится специальная парафиновая смазка, соответствующая температуре снега. Смазки, применяемые в других технических системах, могут быть жидкими (масло) или сухими (графитовый порошок).4Рассмотрите возможность применения «газообразной смазки». Речь идет о так называемой «воздушной подушке». Уменьшение силы трения происходит в этом случае за счет создания потока воздуха между соприкасавшимися ранее поверхностями. Метод используется при проектировании вездеходов, предназначенных для преодоления труднопроходимых местностей.5Если в рассматриваемой системе используется трение скольжения, замените его на трение качения. Проделайте простой эксперимент. Поставьте на ровную поверхность стола обычный стакан и рукой попытайтесь его сдвинуть. Теперь положите стакан на бок и сделайте то же самое. Во втором случае сдвинуть предмет с места будет значительно легче, поскольку вид трения изменился.
F – Fсопр – Fтр = 0 , если движение равномерно, где F – сила тяги конькобежца.
F = СSρu²/2 + μmg , где ρ – плотность воздуха, u, S и С – предельная скорость, площадь сечения и характерный коэффициент сопротивления конькобежца.
Запишем второй закон Ньютона для смычки:
v' = ( F – Fсопр – Fтр – mgsinφ ) / m , где φ – текущий угол поворота на смычке; в данном случае Fтр = μN > μmg ! поскольку давление на смычке может быть заметно выше!
Нормальное ускорение в данном случае:
a = v²/R , которое обеспечивается реакцией смычки N за вычетом поперечной к смычке составляющей силы тяжести :
mv²/R = N – mgcosφ , где φ – текущий угол поворота на смычке.
N = mv²/R + mgcosφ ;
Fтр = μN = μmv²/R + μmgcosφ ;
v' = ( F – СSρv²/2 – μmv²/R – μmgcosφ – mgsinφ ) / m ;
s'' = F/m – ( СSρ/[2m] + μ/R )s'² – μgcos(s/R) – gsin(s/R) ;
Данное нелинейное дифференциальное уравнение в элементарных функциях не решается. Для решения можно сделать некоторые пренебрежения.
Положим некоторые не значительно-переменные на смычке величины – постоянными:
μgcos(s/R) ≈ μgcos(φo/2),
gsin(s/R) ≈ gsin(φo/2), где φo – угол наклона наклонной плоскости, тогда:
v' = [ F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) ] – ( СSρ/[2m] + μ/R )v² ;
Поскольку мы будем устремлять R к нолю, то:
| F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) | << ( СSρ/[2m] + μ/R )v² , а кроме того:
СSρ/[2m] << μ/R , окончательно:
v' = –μv²/R ;
Rdv/v² = –μdt ;
R/v – R/Vo = μt ;
R/v = R/Vo + μt ;
v = 1/[ 1/Vo + μt/R ] ;
ds = 1/[ 1/Vo + μt/R ] dt = [R/μ] d( 1/Vo + μt/R )/[ 1/Vo + μt/R ] ;
s = [R/μ] ln| Vo ( 1/Vo + μt/R ) | = [R/μ] ln|Vo/v| ;
v = Vo exp(–μs/R) = Vo exp(–μφ) – это будет скорость конькобежца после смычки.
Теперь запишем третий Закон Ньютона на наклонном участке:
v' = F/m – Fсопр/m – μgcosφ – gsinφ ;
F = СSρu²/2 + μmg ;
v' = – СSρv²/[2m] – ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) ;
Обозначим ускорение возвратных бесскоростных сил,
как b = gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ,
а величину 2m/[СSρ] = L – как тормозную константу, тогда:
v' = – v²/L – b ;
dv/[ v²/L + b ] = –dt ;
dv/[ v²/(bL) + 1 ] = –bdt ;
d(v/√[bL]) / [ (v/√[bL])² + 1 ] = – √[b/L] dt ;
arctg(v/√[bL]) – arctg(V/√[bL]) = √[b/L] t ;
arctg(V/√[bL]) = arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ;
V/√[bL] = tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
V = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
ds = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) dt =
= – L tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) d( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
s = L ln| cos( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) / cos( arctg(v/√[bL]) ) | ;
s = L ln| √[1+v²/(bL)] / √[1+V²/(bL)] | ;
Когда скорость V станет равна нулю – это и будет наивысшая точка:
s = L ln√[1+v²/(bL)] = L ln√[1+Vo²exp(–2μφ)/(bL)] ;
H = s sinφ ;
sinφ = h/so , где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;
1–cosφ = 1 – √[1–(h/so)²] ≈ [1/2] (h/so)², где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;
H = [s/so] h = [h/so] L ln√[1+Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/(bL)] ;
bL = ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) 2m/[СSρ] =
= 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u²
H = 2m/[СSρ]*
*[h/so] ln√[ 1 + Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/( 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u² ) ] ;
Как мы видим, нам необходима максимальная скорость конькобежца u. Будем считать, что это так невнятно дано в виде начальной скорости конькобежца. Учтём ещё, что в нашем случае: arcsin[h/so] ≈ h/so, (h/so)² << 1 и exp(–2μarcsin[h/so]) ≈ 1–2μh/so :
H = 2m/[СSρ] [h/so] ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] ;
Очевидно, что для того, чтобы «работающий ногами конькобежец» вообще мог достичь какой-либо наивысшей точки, нужно чтобы:
ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] > 0 ;
(1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) > 0 ;
2 [h/so] mg/[СSρVo²] > 1 ;
m/СS > ρVo²so/[2gh] ≈ 1.25*64*10/[ 2*9.8*0.5 ] ≈ 4000/49 ;
m/СS > 81.6 ;
Если считать, что CS = 1 м² , то масса конькобежца должна быть больше 82 кг, чтобы он, «продолжая работать ногами», вообще остановился.
* Допустим, что m/CS = 200 (тяжёлый и слабый), тогда:
H ≈ 2*200/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*200*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 16 ln√[ 1 + 0.998/1.45 ] ≈ 8.4 м.
* Допустим, что m/CS = 100 (средний параметр), тогда:
H ≈ 2*100/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*100*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 8 ln√[ 1 + 0.998/0.225 ] ≈ 13.5 м.
* Допустим, что m/CS = 82 (легко-пронырливый), тогда:
H ≈ 2*82/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*82*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 6.56 ln√[ 1 + 0.998/0.0045 ] ≈ 35 м.
* Допустим, что m/CS > 81.64 (всепреодолевающий на этом наклоне), тогда:
H ≈ 2*81.64/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*81.64*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ бесконечность.