1. Сразу ясно, что частица находится в параболической потенциальной яме, в таких условиях она является гармоническим осциллятором.
Функция Лагранжа для такой частицы
Уравнение Эйлера-Лагранжа
- классическое уравнение гармонического осциллятора, о чем было сказано в начале.
Его общее решение
Решим задачу Коши для указанных условий (примем начальную фазу для простоты за ноль)
1) Начальное положение частицы - положение равновесия, но есть отличная от нуля начальная скорость
Частное решение
2) Здесь наоборот, частица выведена из положения равновесия, но не имеет начальной скорости, значит амплитуда сходу будет равна , а частное решение будет иметь вид
2) Момент инерции вычисляется как интеграл следующего вида
Где dV - объем цилиндрического коаксиального слоя толщиной dr
Окончательно
3.
Центростремительное ускорение по внешнему радиусу тора должно совпасть с g₀
Попытаюсь решить.
1. Сразу ясно, что частица находится в параболической потенциальной яме, в таких условиях она является гармоническим осциллятором.
Функция Лагранжа для такой частицы
Уравнение Эйлера-Лагранжа
Его общее решение
Решим задачу Коши для указанных условий (примем начальную фазу для простоты за ноль)
1) Начальное положение частицы - положение равновесия, но есть отличная от нуля начальная скорость
Частное решение
2) Здесь наоборот, частица выведена из положения равновесия, но не имеет начальной скорости, значит амплитуда сходу будет равна
, а частное решение будет иметь вид
2) Момент инерции вычисляется как интеграл следующего вида
Где dV - объем цилиндрического коаксиального слоя толщиной dr
Окончательно
3.
Центростремительное ускорение по внешнему радиусу тора должно совпасть с g₀
Требуемая угловая частота вращения
Период обращения
Частота обращения