Задача 2. Вокруг планеты на расстоянии 200 км от её поверхности со скоростью 4 км/с движется спутник. Определите массу планеты, если её радиус равен двум радиусам Земли (R= 6370 км).
Планеты имеют форму шара, объём которого можно вычислить по формуле V=4/3ПR^3, тогда плотность планеты Pпл=Mпл/Vпл=Mпл/4:3ПRпл^3, где Мпл — масса планеты, Rпл — её радиус.
Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите. На него действует сила тяготения Fтяг, которая определяет центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
maпс=Fтяг, или mv^2/(Rпл+h)=G*mMпл/(Rпл+h)^2.
Из последнего уравнения находим массу планеты: Mпл=v^2(Rпл+h)/G.
Подставив это выражение в формулу (1), имеем
pпл=v^2(Rпл+h)/4:3ПRпл^3G=v^2(2R3+h)/32:3ПR^3/3G=355 кг/м3.
Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите. На него действует сила тяготения Fтяг, которая определяет центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
maпс=Fтяг, или mv^2/(Rпл+h)=G*mMпл/(Rпл+h)^2.
Из последнего уравнения находим массу планеты: Mпл=v^2(Rпл+h)/G.
Подставив это выражение в формулу (1), имеем
pпл=v^2(Rпл+h)/4:3ПRпл^3G=v^2(2R3+h)/32:3ПR^3/3G=355 кг/м3.