Для начала (пригодится в дальнейшем), каждая из боковых граней правильной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, площадь боковой поверхности, как известно, равна сумме всех боковых граней, то есть в нашем случае утроенной сумме площади боковой грани, и площадь одной боковой грани равна: 213^0,5/3. Итак, найти высоту пирамиды можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образуемого собственно высотой, апофемой (высотой боковой грани) и перпендикуляром, опущенным из центра пирамиды к стороне основания. Заметим, что последний отрезок является радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник - основание пирамиды, и его величину можно найти уже сейчас: r = a3^0,5/6 = 23^0,5/6 = 3^0,5/3. Остается найти апофему, и для этого как раз понадобится то, что я указал в начале ответа. Площадь равнобедренного (как и любого) треугольника равна полупроизведению основания на высоту (в данном случае, искомую апофему), отсюда высота равна: 2(213^0,5/3)/2 = 213^0,5/3. Далее относительно просто - высота равна: ((213^0,5/3)^2 - (3^0,5/3)^2))^0,5 = (413/9 - 3/9)^0,5 = (52/9 - 3/9)^0,5 = ((52 - 3)/9)^0,5 = (49/9)^0,5 = 7/3.
