Задача 1 Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника. Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О. Опустим из вершины В медиану ВН на АС. Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС. АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны. ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2 Высота ВН=3АС/2 S=h*a:2 а=АС h=BН=3АС/2=3а/2 S=(3а/2)*а:2 S=3а²/4 а²=4S/3 а=√(4S/3)=2√(S/3 )------------------------- Задача 2. Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков LK, KN и дуги LN. ------------------ Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр. LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN. MN=2r=6*2=12. Тогда МК=2, КN=10 LK²=MK*KN-2*10=20 LK=√20=2√5 Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45° Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т. Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT, а NL - биссектриса угла KNT. Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны. ОЕ⊥KN. ОТ⊥NT ОЕ=ОТ=r Угол KTN=90° Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника КН=НN=ТН=10:2=5 КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2 Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны. КТ:KО=TH:OE ОЕ=ОТ=r KO= КТ-ОТ=5√2-r 5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. 5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5: √2 r=5√2 -r √2 r+r=5√2 r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1) r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93
Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О.
Опустим из вершины В медиану ВН на АС.
Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС.
АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны.
ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2
Высота ВН=3АС/2
S=h*a:2
а=АС
h=BН=3АС/2=3а/2
S=(3а/2)*а:2
S=3а²/4
а²=4S/3
а=√(4S/3)=2√(S/3
)-------------------------
Задача 2.
Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
LK, KN и дуги LN.
------------------
Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр.
LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN.
MN=2r=6*2=12.
Тогда МК=2, КN=10
LK²=MK*KN-2*10=20
LK=√20=2√5
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45°
Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т.
Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT,
а NL - биссектриса угла KNT.
Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.
ОЕ⊥KN.
ОТ⊥NT
ОЕ=ОТ=r
Угол KTN=90°
Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника
КН=НN=ТН=10:2=5
КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2
Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны.
КТ:KО=TH:OE
ОЕ=ОТ=r
KO= КТ-ОТ=5√2-r
5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5:
√2 r=5√2 -r
√2 r+r=5√2
r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1)
r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93