Тема: Законы Кеплера. Определение масс небесных тел
Цель занятия: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет.
Теоретические сведения
При решении задач неизвестное движение сравнивается с уже известным путём применения законов Кеплера и формул синодического периода обращения.
Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Первый закон Кеплера
Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади.
Второй закон Кеплера
Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Третий закон Кеплера
Для определения масс небесных тел применяют обобщённый третий закон Кеплера с учётом сил всемирного тяготения:
Обобщённый третий закон Кеплера,
где М1 и М2 -массы каких-либо небесных тел, а m1 и m2 - соответственно массы их спутников.
Обобщённый третий закон Кеплера применим и к другим системам, например, к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника вокруг той планеты, массу которой определяют, и при этом массами спутников в сравнении с массой центрального тела пренебрегают. При этом в исходной формуле индекс надо отнести к движению Луны вокруг Земли массой , а индекс 2 –к движению любого спутника вокруг планеты массой . Тогда масса планеты вычисляется по формуле:
Обобщённый третий закон Кеплера,
где Тл и αл- период и большая полуось орбиты спутника планеты , М⊕ -масса Земли.
Формулы, определяющие соотношение между сидерическим (звёздным) Т и синодическим периодами S планеты и периодом обращения Земли , выраженными в годах или сутках,
а) для внешней планеты формула имеет вид:
б) для внутренней планеты:
Выполнение работы
Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Задание 5. Марс дальше от Солнца, чем Земля, в 1.5 раза. Какова продолжительность года на Марсе? Орбиты планет считать круговыми.
Задание 6. Синодический период планеты 500 суток. Определите большую полуось её орбиты и звёздный (сидерический) период обращения.
Задание 7. Определить период обращения астероида Белоруссия если большая полуось его орбиты а=2,4 а.е.
Задание 8. Звёздный период обращения Юпитера вокруг Солнца Т=12 лет. Каково среднее расстояние от Юпитера до Солнца?
Примеры решения задач 1-4
Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Могильник Шиликты (каз. Шілікті қорымы) — раннесакские курганы, расположенные в Зайсанском районе Восточно-Казахстанской области, в долине, окружённой хребтами Тарбагатай, Сауыр, Манырак, в 100 км южнее озера Зайсан.
Исследование и защита
В начале XX века памятники Шиликтинской долины обследовал гидротехник из Семипалатинска Г. Н. Бокий. Планомерное исследование курганов началось в середине — второй половине XX века. Восточно-Казахстанская экспедиция ЛО ИА СССР под руководством С. С. Черникова в 1949 году провела археологическую разведку, а затем раскопки кургана № 7 при участии сотрудников Центрального музея Казахстана и ИИАЭ АН КазССР. В 1960 году были исследованы курганы № 3, 4, 5; в начале 1970-х годов — № 35, 2а, 10[1].
В 1982 году могильник Шиликты был включён в список памятников истории и культуры республиканского значения и взят под охрану государства[2].
Археологические исследования памятников Шиликты были возобновлены в 2003 году археологической экспедицией КазНУ имени аль-Фараби под руководством А. Т. Толеубаева раскопками отдельных курганов могильников Шиликты-1, 2, 3[1].
Описание
Всего выявлено более 200 курганов эпохи ранних кочевников, включая 50 — «царских», диаметром до 100 м при высоте 8-10 м. Около 120 курганов сосредоточены в центре долины, на участке размерами около 1×6 км[1].
Курган № 5 (диаметр 66 м, высота 6 м), материалы которого получили наибольшую известность, был обследован в 1960 году. Курган представлял собой прямоугольную конструкцию из брёвен лиственницы, зазоры между которыми были заполнены камнем. Сооружение размером 4,8×4,6 м и высотой 1,2 м было заглублено в грунт на 1 м. С восточной стороны находился дромос. По основанию курган был ограждён кольцом из трёх рядов крупного камня. Несмотря на то, что курган был разграблен в древности, в нём были найдены образцы золотых изделий, выполненных в традициях скифо-сибирского «звериного стиля» — 535 золотых предметов. Среди них бляшки в виде оленей с подогнутыми ногами, украшавшие колчан; контурные фигурки орлов с повёрнутой назад головой; свернувшиеся в кольцо кошачьи хищники; вырезанные из фольги фигурки кабанов и рыбы, декорированной вставками бирюзы и зернью; бляшки в виде птицы с распростёртыми крыльями и др. С остатками колчана выявлено 13 бронзовых наконечников стрел[1].
Тема: Законы Кеплера. Определение масс небесных тел
Цель занятия: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет.
Теоретические сведения
При решении задач неизвестное движение сравнивается с уже известным путём применения законов Кеплера и формул синодического периода обращения.
Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Первый закон Кеплера
Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади.
Второй закон Кеплера
Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Третий закон Кеплера
Для определения масс небесных тел применяют обобщённый третий закон Кеплера с учётом сил всемирного тяготения:
Обобщённый третий закон Кеплера,
где М1 и М2 -массы каких-либо небесных тел, а m1 и m2 - соответственно массы их спутников.
Обобщённый третий закон Кеплера применим и к другим системам, например, к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника вокруг той планеты, массу которой определяют, и при этом массами спутников в сравнении с массой центрального тела пренебрегают. При этом в исходной формуле индекс надо отнести к движению Луны вокруг Земли массой , а индекс 2 –к движению любого спутника вокруг планеты массой . Тогда масса планеты вычисляется по формуле:
Обобщённый третий закон Кеплера,
где Тл и αл- период и большая полуось орбиты спутника планеты , М⊕ -масса Земли.
Формулы, определяющие соотношение между сидерическим (звёздным) Т и синодическим периодами S планеты и периодом обращения Земли , выраженными в годах или сутках,
а) для внешней планеты формула имеет вид:
б) для внутренней планеты:
Выполнение работы
Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Задание 5. Марс дальше от Солнца, чем Земля, в 1.5 раза. Какова продолжительность года на Марсе? Орбиты планет считать круговыми.
Задание 6. Синодический период планеты 500 суток. Определите большую полуось её орбиты и звёздный (сидерический) период обращения.
Задание 7. Определить период обращения астероида Белоруссия если большая полуось его орбиты а=2,4 а.е.
Задание 8. Звёздный период обращения Юпитера вокруг Солнца Т=12 лет. Каково среднее расстояние от Юпитера до Солнца?
Примеры решения задач 1-4
Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?
Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км
Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?
Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.
Могильник Шиликты (каз. Шілікті қорымы) — раннесакские курганы, расположенные в Зайсанском районе Восточно-Казахстанской области, в долине, окружённой хребтами Тарбагатай, Сауыр, Манырак, в 100 км южнее озера Зайсан.
Исследование и защита
В начале XX века памятники Шиликтинской долины обследовал гидротехник из Семипалатинска Г. Н. Бокий. Планомерное исследование курганов началось в середине — второй половине XX века. Восточно-Казахстанская экспедиция ЛО ИА СССР под руководством С. С. Черникова в 1949 году провела археологическую разведку, а затем раскопки кургана № 7 при участии сотрудников Центрального музея Казахстана и ИИАЭ АН КазССР. В 1960 году были исследованы курганы № 3, 4, 5; в начале 1970-х годов — № 35, 2а, 10[1].
В 1982 году могильник Шиликты был включён в список памятников истории и культуры республиканского значения и взят под охрану государства[2].
Археологические исследования памятников Шиликты были возобновлены в 2003 году археологической экспедицией КазНУ имени аль-Фараби под руководством А. Т. Толеубаева раскопками отдельных курганов могильников Шиликты-1, 2, 3[1].
Описание
Всего выявлено более 200 курганов эпохи ранних кочевников, включая 50 — «царских», диаметром до 100 м при высоте 8-10 м. Около 120 курганов сосредоточены в центре долины, на участке размерами около 1×6 км[1].
Курган № 5 (диаметр 66 м, высота 6 м), материалы которого получили наибольшую известность, был обследован в 1960 году. Курган представлял собой прямоугольную конструкцию из брёвен лиственницы, зазоры между которыми были заполнены камнем. Сооружение размером 4,8×4,6 м и высотой 1,2 м было заглублено в грунт на 1 м. С восточной стороны находился дромос. По основанию курган был ограждён кольцом из трёх рядов крупного камня. Несмотря на то, что курган был разграблен в древности, в нём были найдены образцы золотых изделий, выполненных в традициях скифо-сибирского «звериного стиля» — 535 золотых предметов. Среди них бляшки в виде оленей с подогнутыми ногами, украшавшие колчан; контурные фигурки орлов с повёрнутой назад головой; свернувшиеся в кольцо кошачьи хищники; вырезанные из фольги фигурки кабанов и рыбы, декорированной вставками бирюзы и зернью; бляшки в виде птицы с распростёртыми крыльями и др. С остатками колчана выявлено 13 бронзовых наконечников стрел[1].