Знайти знаменник і шостий член геометричної про¬гресії 72; 12; 2; ...

Доказательство: A и B  -  острые углы тупоугольного треугольника, значит угол С тупой и

0<A<90,0<B<90,90<C<180 и

cos C<0,cos A>0,cos B>0 (*)

 tgA*tgB<1 равносильно неравенству

tgA*tgB-1<0

Рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы

tg x=sin x\cos x

cos (A+B)= cosA*cosB- sinAsinB

cos(180-A)=-cos A

и соотношение углов треугольника A+B+C=180 и учитывая (*):

tgA*tgB-1=sinA\cos A*sin B\cos B-1=(sinAsinB-cosA*cosB)\(cos A*cos B)=

=-cos(A+B)\(cos A*cos B)=cos(180-(A+B))\(cos A*cos B)=cos C\(cos A*cos B)<0,

А значит tgA*tgB-1<0, или tgA*tgB<1, что и требовалось доказать.

Решение: Пусть a,b,c,d – данные последовательно записанные числа. Тогда по условию

a+d=22    (1)

b+c=20    (2)

Из свойств арифметической и геометрической прогрессии имеем:

a+c=2*b (3)

c^2=b*d (4)

Из (2) получим b=20-c (5).

Сложив (1) и (2), получим a+b+c+d=22+20=42, использовав (3) и (5), получим

3*b+d=42, d=42-3*b=42-3*(20-c)=42-60+3*c=3*c-18, то есть

d=3*c-18 (6).

Использовав (4), (5), (6), получим

c^2=(20-c)*(3c-18). Решаем:

c^2=60*c-360-3*c^2+18*c=-3c^2+78c-360.

4*c^2-78*c+360=0

2*c^2-39*c+180=0.

d=39^2-4*2*180=81

c1=(39-9)\(2*2)=30\4=15\2=7.5

c2=(39+9)\(2*2)=12

Из (1), (6) получим

а=22-d=22-(3*c-18)=40-3*c (7).

Используя (5), (6), (7), получим

a1=40-3*7.5=17.5

a2=40-3*12=4

b1=20-7.5=12.5

b2=20-12=8

d1=3*7.5-18=4.5

d2=3*12-18=18

Таким образом получили две последовательности 17.5;12.5;7.5;4.5 и

4;8;12;18

ответ: 17.5;12.5;7.5;4.5 или 4;8;12;18