решите эти уравнения
2) 5 sin x + 6 cos x — 6 = 0
я бы делал так:
Есть формулы универсальной подстановки. Применим их:
5*2tgx/2 / (1 + tg²x/2) + 6*(1 - tg²x/2)/( 1 + tg²x/2) -6=0 |*(1 + tg²x/2) ≠0
10tgx/2 +6 - 6tg²x/2 -6 - 6tg²x/2 = 0
-12tg²x/2 +10tgx/2 = 0
tgx/2(-12tgx/2 + 10) = 0
tgx/2 = 0 или -12tgx/2 + 10 = 0
x/2 = arctg0 + πk , k ∈Z tgx/2 = 5/6
х/2 = πk , k ∈Z х/2 = arctg5/6 + πn , n ∈Z
x =2πk , k ∈Z х = 2arctg5/6 + πn , n ∈Z
3) sin 6x - sin 2x = 0
2Sin2xCos4x = 0
Sin2x = 0 или Cos4x = 0
2x = πk , k ∈Z 4x = π/2 + πn , n ∈Z
x = πk/2 , k ∈Z x = π/8 + πn/4 , n ∈Z
решите эти уравнения
2) 5 sin x + 6 cos x — 6 = 0
я бы делал так:
Есть формулы универсальной подстановки. Применим их:
5*2tgx/2 / (1 + tg²x/2) + 6*(1 - tg²x/2)/( 1 + tg²x/2) -6=0 |*(1 + tg²x/2) ≠0
10tgx/2 +6 - 6tg²x/2 -6 - 6tg²x/2 = 0
-12tg²x/2 +10tgx/2 = 0
tgx/2(-12tgx/2 + 10) = 0
tgx/2 = 0 или -12tgx/2 + 10 = 0
x/2 = arctg0 + πk , k ∈Z tgx/2 = 5/6
х/2 = πk , k ∈Z х/2 = arctg5/6 + πn , n ∈Z
x =2πk , k ∈Z х = 2arctg5/6 + πn , n ∈Z
3) sin 6x - sin 2x = 0
2Sin2xCos4x = 0
Sin2x = 0 или Cos4x = 0
2x = πk , k ∈Z 4x = π/2 + πn , n ∈Z
x = πk/2 , k ∈Z x = π/8 + πn/4 , n ∈Z
Замена: x/2 = t
4sin2 t - 3(sin2 t + cos2 t) = 2 · sin t · cos t
sin2 t - 3cos2 t - 2sin t · cos t = 0 | : cos2 t ≠0
Действительно, если cos t = 0 (т.е. и cos2 t =0), то sin2 t - 3*0- 2sin t · 0 = 0. Получаем sin2 t =0
Т.е. sin t =0. Но тогда не выполнится основное тригонометрическое тождество: sin2 t + cos2 t = 0+0=0≠1!
tg2 t - 3 - 2 tg t = 0
По т. обр т. Виета подберём корни (чтобы не делать еще одну замену):
tg2 t - 2 tg t - 3 = 0
(tg t + 1) (tg t - 3) = 0
tg t = -1 или tg t = 3
tg x/2 = -1 или tg x/2 = 3
x/2 = arctg (-1) + πk; k€Z
x/2 = arctg (3) + πk; k€Z
x/2 = -π/4 + πk; k€Z
x/2 = arctg (3) + πk; k€Z
x = -π/2 + 2πk; k€Z
x = 2 arctg 3 + 2πk; k€Z
ответ:
x = -π/2 + 2πk; k€Z
x = 2 arctg 3 + 2πk; k€Z