Знайдіть усі натуральні числа р,q, що задовольняють рівняння arctg1/p+arctg1/q=π/4

task/29542049    arctg (1/p) +arctg(1/q) =  π/4 ;  p ∈ ℕ  , q ∈ ℕ

* * *  arctg (1/p) = α;  arctg(1/q)=β  ; tg( α+β)=( tgα+tgβ) / (1 - tgα*tgβ)    * * *

* * *   - π/2 < arctg(a)  < π/2  и  tg (arctg(a) ) =a  * * *

arctg (1/p) +arctg(1/q) =  π/4 ⇔ tg( arctg (1/p) +arctg(1/q) ) =tg(π/4)⇔

( tg(arctg (1/p)  +tg( arctg(1/q) ) / ( 1 - tg(arctg (1/p) *tg( arctg(1/q) ) = 1⇔

( 1/p+ 1/q ) / (1-  1/pq ) =1 ⇔ ( p+ q ) / (pq -  1) =1   || pq ≠1 || ⇔ p+ q = pq -  1 ⇔

pq - p - q +1 =2 ⇔  (p -1)(q-1) = 2.  Если p  и q натуральные ,то

{ p - 1 = 1 ; q -1 =2    либо  { p - 1 = 2 ; q -1 = 1.    

{ p =2 ; q =3  либо { p = 3 ; q  = 2  

* * *нормально: исходное выражение симметрично относительно p и q* * *

ответ:  (2;3) ,  (3;2) .

УДАЧИ  !