Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії, у якої b2 = 4, b3 = 2

Дан эллипс 9х² + 25у² = 225 с центром в начале координат.

Или (х²/25) + (у²/9) = 1.

В нём а = 5, в = 3.

Находим расстояние до фокусов - это величина "с".

с = √(a² - b²) = √(25 - 9) = √16 = 4.

Точки, где фокальные радиусы взаимно перпендикулярны. лежат на окружности радиусом 4 с центром в начале координат.

Тогда координаты искомых точек удовлетворяют решению системы:

9х² + 25у² = 225,

х² + у² = 16.  х² = 16 - у² подставим в первое уравнение.

9(16 - у²) = 25у² = 225.

144 - 9у² + 25у² = 225.

16у² = 81.    у = +- 9/4.

х = √(16 - (81/16) = +-5√7/4.

То есть на эллипсе есть 4 точки, в которых фокальные радиусы взаимно перпендикулярны.

((9/4); (5√7/4)),

((9/4); (-5√7/4)),

((-9/4); (5√7/4)),

((-9/4); (-5√7/4)).

Энный член прогрессии равен: bn = b1*q^(n-1),
По условию: b1+b1*q³ = 35,
                    b1*q+b1*q² = 30.
Вынесем за скобки: b1(1+q³) = 35,
                               b1*q(1+q) = 30.
Заменим 1+q³ = (1+q)(1-q+q²).

Теперь заданное условие выглядит так:
b1(1+q)(1-q+q²) = 35.
b1q(1+q)           = 30.
Разделим левые и правые части друг на друга:
(1-q+q²)/q = 7/6, приведём к общему знаменателю:
6-6q+6q² = 7q.
Получаем квадратное уравнение 6q²-13q+6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно q: Ищем дискриминант:
D=(-13)^2-4*6*6=169-4*6*6=169-24*6=169-144=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
q_1=(√25-(-13))/(2*6)=(5-(-13))/(2*6)=(5+13)/(2*6)=18/(2*6)=18/12=1,5;q_2=(-√25-(-13))/(2*6)=(-5-(-13))/(2*6)=(-5+13)/(2*6)=8/(2*6)=8/12=2/3 (по условию q>1 этот корень отбрасываем).

ответ: q = 1,5.