Знайдіть чотири послідовних натуральних числа, якщо відомо, що добуток третього і четвертого чисел більший за добуток першого і другого на 34.​

Выпишем все двузначные квадраты: 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Если это число начиналось с 1, то первые цифры только 16, значит 2-я и 3-я цифры - 64, после этого (3-я и 4-ая) может быть только 49. Дальше продолжать не можем, потому что нет двузначных квадратов, начинающихся с 9. Итак, максимальное число начинающееся с 1 и удовлетворяющее условию 1649
Аналогично для 2 получаем 25, т.к. на 5 двузначных квадратов нет. И т.д.:
Начинающееся на 3:  3649
на 4: 49
на 5 - таких чисел нет
на 6: 649
на 7: - таких нет, т.к. нет двузначных квадратов начинающихся с 7.
на 8: - 81649
на 9: - нет.
Итак, наибольшее: 81649.

x² - 5xy + 6y² = 2

x² - 3xy - 2xy + 6y² = 2

x(x - 3y) - 2y(x - 3y) = 2

(x - 3y)(x - 2y) = 2

 Поскольку уравнение решается в целых числах, тогда

2 = 1 * 2 ,   2 = (-1) * (-2)

1) Пусть (x - 3y) = 1 ,  а (x - 2y) = 2

Составим систему:

 { x - 3y = 1   |умножим на 2

 { x - 2y = 2   | умножим на (-3)

 

{ 2x - 6y = 2

{ -3x + 6y = -6

 

 -x = -4

x =4

 

4 - 3y = 1

-3y = 1 - 4

-3y = -3

y = 1

Имеем: х = 4,  у = 1

 

2) Пусть (x - 3y) = -1 ,  а (x - 2y) = -2

Составим систему:

 { x - 3y = -1   |умножим на 2

 { x - 2y = -2   | умножим на (-3)

 

{ 2x - 6y = -2

{ -3x + 6y = 6

 

-х = 4

х = -4

 

-4 - 3у = -1

-3у = -1 + 4

-3у = 3

у=-1

 

Имеем: х = -4,   у = -1

Вот мы и решили уравнение в целых числах.