Знаменатель правильной дроби на 1 больше числителя. Если числитель и знаменатель уменьшить на 1, то дробь уменьшится на \dfrac{1}{6}.
6
1
. Найди исходную дробь.
Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /.
Пусть числитель дроби равен x,тогда знаменатель равен
.
Если числитель уменьшить на 1, он будет равен
. Если знаменатель уменьшить на 11, он будет равен
.
Так как новая дробь на \dfrac{1}{6}
6
1
меньше, получим уравнение: \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}=
x+1
x
−
x
x−1
=
.
Корни в порядке возрастания: x_1=x
1
=
, x_2=x
2
=
.
Если числитель исходной дроби равен
, то знаменатель равен
: получается неправильная дробь, что не соответствует условию.
Значит, числитель исходной дроби равен
, знаменатель равен
.
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось на N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).
Получаем:
tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.
С первым понятно, что делать. Второе:
tg 2x tg 4x = –2,
tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.
Это равенство невозможно.
Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так