Злая мачеха ссыпала вместе горох и чечевицу и приказала Золушке перебрать и разделить их. Девушка выполнила задание — но так как она была не только добрая и красивая, но и умная, то сумела оценить, что горох и чечевица соотносятся как 4:7. Определи, каков был вес чечевицы, если общий вес смешанных зёрен — 99 кг?
Производная этой функции равна:
Так как переменная производной находится в знаменателе, то производная не равна 0 и поэтому функция не имеет ни минимума, ни максимума.
1 f(x) = (- 3 / (x + 1)³) - 2 Область определения функции
Точки, в которых функция точно не определена:x1 = -1.
Функция только убывающая:
-1 > x >-∞ и ∞ > x >-1.
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = , значит надо решить уравнение: 1 -------- - 2 = 0 3 (x + 1) Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение 2/3 2 x1 = -1 + ---- 2 Численное решениеx1 = -0.206299474016
Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в 1/((x + 1)^3) - 2.1 -- - 2 3 1 Результат:f(0) = -1Точка:(0, -1)
График функции f = 1/((x + 1)^3) приведен в приложении.
2Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx -3 ---------------- = 0 3 (x + 1)*(x + 1) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит экстремумов у функции нет
Точки перегибов. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 12 -------- = 0 5 (1 + x) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты. Есть:x1 = -1
Горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 1 lim -------- - 2 = -2 x->-oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты слева:y = -2 1 lim -------- - 2 = -2 x->oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты справа:y = -2
Наклонные асимптоты. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/((x + 1)^3) - 2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->-oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции. Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 1 1 -------- - 2 = -2 + -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет 1 1 -------- - 2 = 2 - -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
В решении.
Объяснение:
2. [6 б] Функция задана уравнением у = х² - 6х + 5
1) определите направление ветвей параболы;
График - парабола со смещённым центром, ветви направлены вверх.
2) вычислите координаты вершины параболы;
х₀ = -b/2а = 6/2 = 3;
х₀ = 3;
у₀ = 3² - 6*3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.
у₀ = -4;
Координаты вершины параболы (3; -4) ;
3) запишите ось симметрии параболы;
Ось симметрии Х = -b/2а = 6/2 = 3 ;
Х = 3;
4) в каких точках график данной функции пересекает ось Ох;
(нули функции).
Любой график пересекает ось Ох при у равном нулю:
х² - 6х + 5 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 36 - 20 = 16 √D= 4
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(6-4)/2
х₁=2/2
х₁=1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(6+4)/2
х₂=10/2
х₂=5.
Координаты нулей функции (1; 0); (5; 0).
5) в каких точках график данной функции пересекает ось Оу?
Любой график пересекает ось Оу при х равном нулю:
у = х² - 6х + 5 ; х = 0;
у = 0 - 0 + 5
у = 5.
Координаты точки пересечения графиком оси Оу (0; 5).
6) найдите дополнительные 2 точки графика;
Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.
Таблица:
х -1 0 1 2 3 4 5 6 7
у 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12
7) постройте график функции y = x² - 6x + 5.