Задания №1: Найдите сложную функцию. f (x) = х2, g (x) = 2х-2, h (x) = cosx создайте сложную функцию из этих функций:
1. y1 = f(g(x)) =?
2. y2 = h(g(x)) =?
3. y3 = g(f(x)) =?
4. y4 = f(h(x)) =?
5. y5 = h(g(f(x))) =?

Задания №1: Дана сложная функция.
а) f (g (x)) = tg(7x+1), нужно найти, f (x)=? и g(x)=?
б) найти h (g (x) = sin2 (x +2), h (x)=? и g(x)=?

2x-y=-1, y^2-4x-2=0; *умножим первое уравнение на -1, выразим переменную y и подставим ее значение во второе уравнение* y=1+2x, (1+2x)^2-4x-2=0; *раскрываем скобки* y=1+2x, 1+4x+4x^2-4x-2=0; *решаем вторе уравнение* y=1+2x, 4x^2-1=0; y=1+2x, 4x^2=1; *приводим уравнение в стандартный вид* y=1+2x, x^2 = 1/4; *получилось неполное квадратное уравнение, будет два корня* y=1+2x, x1=1/2; x2=-1/2 *1 и 2 это индексы* , *дальше идет подстановка* При x=1/2, y=1+2x=1+2*1/2=1+2/2=1+1=2; При x=-1/2, y=1+2x=1+2*(-1/2)=1+(-2/2)=1-1=0. В ответе получаются следующие пары чисел: (1/2; 2) ; (-1/2; 0).

Объяснение:№2.   1) f(x)= 4/(x-1), функция имеет смысл, если х≠1; значит D(f)= (-∞;1)∪(1; +∞).    2)Найдём производную:   f'(x)=-4/(x-1)²   3)  x=1 критическая точка, т.к. производная в этой точке не имеет смысла;      4 ) f'(x)<0, если х∈ (-∞;1)∪(1; +∞). Значит на (1; +∞) функция у=f(x) убывает, чтд.

№3. f(x)= 3 - √(1-x²)    1)  функция имеет смысл, если 1-x²≥0 ⇒ -1≤х≤1, т.е. D(f)= [-1;1].   2) найдём производную функции f'(x)=-1/2√(1-x²) · (1-x²)' = 2x/2√(1-x²) = x/√(1-x²)

f'(x) = x/√(1-x²)    3)Найдём критические точки, решив уравнение f'(x) =0, ⇒  x/√(1-x²)=0 ⇒ x=0-критическая точка     4)Найдём знаки производной в окрестности критической точки на всей области определения:                    

на промежутке (-1;0),  f'(x)<0;   на (0; 1) ,  f'(x)>0   5) Так как при переходе через критическую точку х=0 производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума, f(0)=2    6) Найдём значения функции на концах промежутка D(f):    f(±)=3  

ответ: min f(x)=f(0)=2, max f(x)=f(±1)=3

№4. Если f(x) возрастающая функция, а g(x)=3-2x -убывающая, то f(g(x))- тоже убывающая.