unisens

13.03.2021 08:23 •  Алгебра

Задача 16н.1. а) По прямой палке ползают 5 жуков. Может ли в какой-то момент каждый жук оказаться в середине отрезка между двумя другими жуками? б) По поверхности пруда бегают 5
водомерок. Может ли в какой-то момент каждая водомерка оказаться в середине отрезка между двумя
другими водомерками?
Задача 16н.2. В Тьмутараканьской губернии имеется 99 достопримечательностей. Все попарные расстояния между ними различны. Группа туристов поехала на их осмотр на автобусе. Первая достопримечательность была выбрана произвольным образом, а каждая следующая выбиралась максимально
удалённой от предыдущей. Оказалось, три первых осмотренных достопримечательности — разные.
Могут ли туристы, выбирая достопримечательности по этому правилу, на 100 шаге вернуться к первой
достопримечательности?
Задача 16н.3. В ряд выписаны 10 чисел. Известно, что первое число равно 3, а сумма любых трёх
подряд равна 15. Можно ли точно определить а) 10-е число; б) 5-е число; в) сумму всех 10 чисел?
Задача 16н.4. Каёмкой размера m×n называется клетчатая фигура, состоящая из граничных клеток прямоугольника m×n. Здесь m и n могут быть любыми числами > 2. Например,
каёмкой является прямоугольник 2×4 или квадрат 3×3 с вырезанной центральной клеткой.
У завхоза Вороватова была клетчатая доска 17 × 9. Он положил на неё несколько каёмок по линиям
сетки так, чтобы каждая клетка была покрыта хотя бы один раз. Может ли оказаться, что любые две
клетки покрыты одинаковое количество раз?
Задача 16н.5. По кругу сидят 2020 детей, перед каждым стоит тарелка с кашей. Оказалось, что у каждого ребёнка вдвое меньше каши, чем суммарно у двух его соседей. Докажите, что каши у всех поровну.
Задача 16н.6. Куб 3 × 3 × 3 состоит из 27 «камер» — единичных кубиков. Из каждой камеры можно
попасть в соседнюю по грани. В центральной камере сидит жук. Докажите, что он не сможет обойти
все камеры, побывав в каждой из них ровно по одному разу.
Задача 16н.7. Для олимпиады по информатике нужны 100 свободных розеток. Есть одна розетка с электричеством и удлинители, каждый на 5 розеток. Какого минимального количества удлинителей хватит?
Задача 16н.8. На плоскости нарисовано несколько кругов одинакового радиуса. Никакие два круга
не пересекаются, но некоторые круги могут касаться. Обязательно ли найдётся круг, а) касающийся
не более 2 других; б) касающийся не более 3 других?