Зачетная работа по теме «Геометрическая прогрессия и ее сумма»
1. Найти первые 6 элементов геометрической прогрессии
а) b1=2
q=2
б) b1= -2
q=3
в) b1= - 4
q= -2
2. В геометрической прогрессии найти
а) b4-?
b1=4
q= -2
б) b5-?
b1= -5
q= -3
в) b6-?
b1= 1
2
q=-3
3. Найти сумму геометрической прогрессии
а) b1=2
q=3
n=4
б) b1=4
q= -3
n=5
в) b1=12
q=
1
2
n=3
4. Найти номер подчеркнутого элемента
а) {4, 12..., 324...} б) {-1,2,-4,8, ..128...} в) {6, 12,24...192...}
5. Определите знаменатель q геометрической прогрессии, для которой
а) b1=5
b4= −40
б) b1= -5
b5= 25
в) b1= 1⁄2
b6=16
6. а) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
−1250; −250; −50;... Найдите сумму первых шести её членов.
б) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
−0,4; 2; −10;... Найдите сумму первых пяти её членов.
в) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
1512;−252; 42;... Найдите сумму первых четырёх её членов
7. а) Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
...; 64; x; 4; -1; ... Найдите х.
б) Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
...; 150; х; 6; 1,2; ... Найдите х.
в) Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
...; 56; х; 14; −7;... Найдите х.
8. а) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
100; 20; 4;... Найдите её пятый член.
б) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
−175; −140; −112;... Найдите её четвертый член.
в) Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:
−6; −21; −73,5;... Найдите её шестой член.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
Скорость второго рабочего v₂ деталей в минуту
Пусть в партии S деталей.
Тогда
(S-15)/v₁=S/(2v₂) - время, за которое 2-й сделал половину партии.
S/v₁=(S-8)/v₂ - время, за которое 1-ый сделал всю партию.
Если х - искомое количество деталей, то
(S-x)/v₂=S/(2v₁) - время, за которое 1-ый сделал половину партии.
Отсюда x=S(1-v₂/(2v₁)).
Из 1-го и 2-го уравнений получим
v₁/v₂=S/(S-8) и v₁/v₂=2(S-15)/S, т.е.
S^2=2(S-8)(S-15).
Решаем это квадратное уравнение, получаем корни 6 и 40.
6 не подходит, т.к. количество деталей больше 6.
Значит S=40, откуда v₁/v₂=40/(40-8)=5/4, откуда x=40*(1-4/10)=24.
ответ: 24 детали.