Правило.
(a - b)(a + b) = a² - b²
Объяснение:
(x - 5)(5 + x) = (x - 5)(x + 5) = x² - 5² = x² - 25
(8 + y)(y - 8) = (y + 8)(y - 8) = y² - 8² = y² - 64
(10 - k)(k + 10) = (10 - k)(10 + k) = 10² - k² = 100 - k²
(a + 2/4 * b)(a - 2/3 * b) = a² + 2/4 * ba - 2/3 * ba - 2/6 * b² =
= a² + 6/12 * ba - 8/12 * ba - 2/6 * b² = a² - 2/12 * ba - 2/6 * b² =
= a² - 1/6 * ba - 2/6 * b²
или
(a + 2/3 * b)(a - 2/3 * b) = a² - (2/3 * b)² = a² - 4/9 * b²
(a + 2/4 * b)(a - 2/4 * b) = a² + (2/4 * b)² = a² + (1/2 * b)² =
= a² + 1/4 * b² = a² + 0,25b²
(4/9 * x - y)(y + 4/9 * x) = (4/9 * x - y)(4/9 * x + y) = (4/9 * x)² - y² =
= 16/81 * x² - y²
(4/15 * n - m)(m + 4/15 * n) = (4/15 * n - m)(4/15 * n + m) =
= (4/15 * n)² - m² = 16/225 * n² - m²
(9x - 5y)(9x + 5y) = 81x² - 25y²
(-4a + 3b)(3b + 4a) = (3b - 4a)(3b + 4a) = 9b² - 16a²
(13k - 2d)(2d + 13k) = (13k - 2d)(13k + 2d) = 169k² - 4d²
(5/4 * c + 3/7 * d)(3/7 * d - 5/4 * c) = (3/7 * d - 5/4 * c)(3/7 * d + 5/4 * c) =
= (3/7 * d)² - (5/4 * c)² = 9/49 * d² - 25/16 * c² = 9/49 * d² - 1,5625c²
(1/3 * x - 3y)(3y + 1/3 * x) = (1/3 * x - 3y)(1/3 * x + 3y) = (1/3 * x)² - 9y² =
= 1/9 * x² - 9y²
(1/5 * a + 1/9 * b)(1/9 * b - 1/5 * a) = (1/9 * b - 1/5 * a)(1/9 * b + 1/5 * a) =
= (1/9 * b)² - (1/5 * a)² = 1/81 * b² - 1/25 * a² = 1/81 * b² - 0,04a²
ответ: 2^97
Найдем наибольшую степень двойки что меньше чем 100.
Очевидно что это 2^6=64 (2^7=128>100)
Понятно ,что число содержащее 6 двоек единственно n1=1 .
Теперь разберемся как посчитать число чисел которые кратны только на 2^5 ( не больше чем на эту степень двоек)
Все числа кратные на 2^5 можно записать так:
2^5 ,2^5*2 ;2^5*3 ;2^5*42^5*n . Соответственно из всех n нас интересуют только нечетные , при этих n число будет кратно ровно на 2^5.
Найдем максимальное n, что 32*n<100
Очевидно что nmax=3 (3*32=96) (число нечетных чисел тут равно n2=2)
Для справки сразу скажем ,что число нечетных чисел на интервале от 1 до k равно k/2- если k-четное и (k+1)/2 ,если k-нечетное.
По аналогии посчитаем число таких чисел для 2^4=16
nmax=6 (6*16=96) (число нечетных чисел n3=6/2=3)
Для 2^3=8 :
nmax=12 (8*12=96) (n4=12/2=6)
Для 2^2=4 :
nmax=25 (4*25=100) ( n5=(25+1)/2=13)
Для 2^1=2
nmax=50 (2*50=100) (n6=50/2=25)
Осталось посчитать общее количество двоек:
N=6n1+5n2+4n3+3n4+2n5+n6=6+10+12+18+26+25=97
Значит 100! делится на 2^97.
Правило.
(a - b)(a + b) = a² - b²
Объяснение:
(x - 5)(5 + x) = (x - 5)(x + 5) = x² - 5² = x² - 25
(8 + y)(y - 8) = (y + 8)(y - 8) = y² - 8² = y² - 64
(10 - k)(k + 10) = (10 - k)(10 + k) = 10² - k² = 100 - k²
(a + 2/4 * b)(a - 2/3 * b) = a² + 2/4 * ba - 2/3 * ba - 2/6 * b² =
= a² + 6/12 * ba - 8/12 * ba - 2/6 * b² = a² - 2/12 * ba - 2/6 * b² =
= a² - 1/6 * ba - 2/6 * b²
или
(a + 2/3 * b)(a - 2/3 * b) = a² - (2/3 * b)² = a² - 4/9 * b²
или
(a + 2/4 * b)(a - 2/4 * b) = a² + (2/4 * b)² = a² + (1/2 * b)² =
= a² + 1/4 * b² = a² + 0,25b²
(4/9 * x - y)(y + 4/9 * x) = (4/9 * x - y)(4/9 * x + y) = (4/9 * x)² - y² =
= 16/81 * x² - y²
(4/15 * n - m)(m + 4/15 * n) = (4/15 * n - m)(4/15 * n + m) =
= (4/15 * n)² - m² = 16/225 * n² - m²
(9x - 5y)(9x + 5y) = 81x² - 25y²
(-4a + 3b)(3b + 4a) = (3b - 4a)(3b + 4a) = 9b² - 16a²
(13k - 2d)(2d + 13k) = (13k - 2d)(13k + 2d) = 169k² - 4d²
(5/4 * c + 3/7 * d)(3/7 * d - 5/4 * c) = (3/7 * d - 5/4 * c)(3/7 * d + 5/4 * c) =
= (3/7 * d)² - (5/4 * c)² = 9/49 * d² - 25/16 * c² = 9/49 * d² - 1,5625c²
(1/3 * x - 3y)(3y + 1/3 * x) = (1/3 * x - 3y)(1/3 * x + 3y) = (1/3 * x)² - 9y² =
= 1/9 * x² - 9y²
(1/5 * a + 1/9 * b)(1/9 * b - 1/5 * a) = (1/9 * b - 1/5 * a)(1/9 * b + 1/5 * a) =
= (1/9 * b)² - (1/5 * a)² = 1/81 * b² - 1/25 * a² = 1/81 * b² - 0,04a²
ответ: 2^97
Объяснение:
Найдем наибольшую степень двойки что меньше чем 100.
Очевидно что это 2^6=64 (2^7=128>100)
Понятно ,что число содержащее 6 двоек единственно n1=1 .
Теперь разберемся как посчитать число чисел которые кратны только на 2^5 ( не больше чем на эту степень двоек)
Все числа кратные на 2^5 можно записать так:
2^5 ,2^5*2 ;2^5*3 ;2^5*42^5*n . Соответственно из всех n нас интересуют только нечетные , при этих n число будет кратно ровно на 2^5.
Найдем максимальное n, что 32*n<100
Очевидно что nmax=3 (3*32=96) (число нечетных чисел тут равно n2=2)
Для справки сразу скажем ,что число нечетных чисел на интервале от 1 до k равно k/2- если k-четное и (k+1)/2 ,если k-нечетное.
По аналогии посчитаем число таких чисел для 2^4=16
nmax=6 (6*16=96) (число нечетных чисел n3=6/2=3)
Для 2^3=8 :
nmax=12 (8*12=96) (n4=12/2=6)
Для 2^2=4 :
nmax=25 (4*25=100) ( n5=(25+1)/2=13)
Для 2^1=2
nmax=50 (2*50=100) (n6=50/2=25)
Осталось посчитать общее количество двоек:
N=6n1+5n2+4n3+3n4+2n5+n6=6+10+12+18+26+25=97
Значит 100! делится на 2^97.