XLVII Всероссийская олимпиада школьников по математике 2020/2021 учебный год • Школьный этап • Ульяновская область, г.Ульяновск 7 класс (каждая задача оценивается в время на решение всех задач — 80 минут) + 7-1. В школе № 13 города N проводилась олимпиада по математике в ней собирались принять участие 65% учащихся 4-11 классов. Однако 8% первоначально заявленных участников в день олимпиады болели, и лишь 25% заболевших заменили другими учениками. В итоге в олимпиаде приняли участие 611 учащихся школы № 13. Сколько всего учеников в этой школе, если известно, что количество школьников в 1-3 классах составляет 29,5% от количества школьников в 4-11 классах? 7-2. Вчера вечером Настя насчитала на полянке 43 одуванчика — некоторые были жёлтыми, некоторые уже белыми. К утру пять белых одуванчиков облетели, а семь жёлтых побелели, но зато распустились ещё десять одуванчиков, и жёлтых цветков стало втрое больше, чем белых. Каких одуванчиков было больше вчера вечером жёлтых или белых, и во сколько раз? на восемь по 7-3. Участок, изображённый на рисунке, требуется разделить равных (одинаковых форме и по размеру) участков, причём границы участков должны быть прямолинейными. Возможно ли это? Если да, сделайте чертёж и изобразите найденный раздела; постарайтесь при этом провести как можно меньше прямых линий. Если требуемый раздел невозможен, докажите. • 7-4. Заполните свободные «соты» 17 18 последовательными натуральными числами, начиная с 1 (с учётом уже расставленных каждое 16 | 2 число должно быть использовано ровно один раз), причём так, чтобы суммы чисел во всех рядах горизонтальных и диагональных были 10 равны. Найдите все возможные решения или докажите, что их не существует. 3 7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа – двойка. Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все числа, обладающие этим свойством. 7-6. В межгалактической конференции участвуют триста сорок обитателей разных звёздных систем. Землянин Вася заметил, что у представителя Сириуса тринадцать рук, а у каждого из остальных участников меньше. Вася утверждает, что хотя бы у двадцати семи участников конференции одинаковое количество рук. Прав ли он? Докажите.
-2 2 a<-2 log(1/6)x<-2⇒x>36 a>2 log(1/6)x>2⇒x<1/36 Так как основание логарифма меньше 1,то функция убывающая и знак неравенства меняется на противоположный.
lg(x^2+x-20) < lg(4x-2) ОДЗ х²+х-20>0 x1+x2=-1 U x1*x2=-20⇒x1=-5 U x2=4 + _ +
-5 4 x<-5 Ux>4 4x-2>0 ⇒x>1/2 x∈(4;≈)
x²+x-20<4x-2 x²-3x-18<0 x1+x2=3 U x1*x2=-18⇒x1=-3 U x2=6 + _ +
-3 6 x∈(-3;6) Совмещаем с ОДЗ⇒х∈ (4;6) На данном промежутке только одно целое решение х=5.
Рассмотрим сначала случай (k - 1) = 0 <=> k = 1. Тогда уравнение примет вид 2^x = 3/4 и имеет один корень. Пусть k не равно 1. Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта: D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6. Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2. Находим корни: y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1); y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1). Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства: 1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0; 2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0. Решение первого очевидно: 1 < k <= 2. Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы: 1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0. 2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0. Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2. Решение второй системы: -2 < k < 1. Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
a²-4>0
(a-2)(a+2)>0
+ _ +
-2 2
a<-2 log(1/6)x<-2⇒x>36
a>2 log(1/6)x>2⇒x<1/36
Так как основание логарифма меньше 1,то функция убывающая и знак неравенства меняется на противоположный.
lg(x^2+x-20) < lg(4x-2)
ОДЗ х²+х-20>0 x1+x2=-1 U x1*x2=-20⇒x1=-5 U x2=4
+ _ +
-5 4
x<-5 Ux>4
4x-2>0 ⇒x>1/2
x∈(4;≈)
x²+x-20<4x-2
x²-3x-18<0
x1+x2=3 U x1*x2=-18⇒x1=-3 U x2=6
+ _ +
-3 6
x∈(-3;6)
Совмещаем с ОДЗ⇒х∈ (4;6)
На данном промежутке только одно целое решение х=5.
Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:
D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6.
Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2.
Находим корни:
y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1);
y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1).
Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:
1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0;
2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0.
Решение первого очевидно: 1 < k <= 2.
Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:
1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0.
2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.
Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2.
Решение второй системы: -2 < k < 1.
Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.