Арифметическая прогрессия - штука очень простая и чёткая. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.Я напишу незаконченный ряд чисел:1, 2, 3, 4, 5, ...Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый... э-э-э..., короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:2, 5, 8, 11, 14, ...Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?Если сообразили, что это число 20 - я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили - читаем дальше.А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.) Первый ключевой момент.Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое... А тут продлить ряд, найти число ряда...Ничего страшного. Просто прогрессии - это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется "Ряды" и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.) Второй ключевой момент.В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.В первом примере эта разница - единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором - тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа. Третий ключевой момент.Этот момент не бросается в глаза, да... Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.Вот и вся суть. Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (an), если a2 = 5, d = -2,5.Внушает?) Буковки, индексы какие-то... А задание, между прочим - проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию. Термины и обозначения.Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.Эта величина называется разность арифметической прогрессии. Разберёмся с этим понятием поподробнее. Разность арифметической прогрессии.Разность арифметической прогрессии - это величина, на которую любое число прогрессии большепредыдущего.Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого - разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.Эта величина может быть положительной, тогда каждое число ряда получится больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей.Эта величина может быть отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер - возрастающая она, или убывающая. Это здорово сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется "разность".)Определим, например, d для арифметической прогрессии:2, 5, 8, 11, 14, ...Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:11-8 = 3d = 3Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d - всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего.)Кстати, зная, что d = 3, найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу - получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число - двадцать.Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.
Для решения задачи вспоминаем, что такое арифметическая прогрессия. Это последовательность, где два соседних члена отстоят друг от друга на одно и то же число. Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d. Уже исходя из определения, в силу последовательности данных чисел, можно записать: 2x + 1 - (7x-8) = d x+6 - (2x+1) = d Получили простейшую систему уравнений с двумя неизвестными. Решаем очевидным образом её: 2x + 1 - 7x + 8 = d -5x + 9 = d x + 6 - 2x - 1 = d -x + 5 = d
-5x + 9 = -x + 5 -4x = -4 x = 1
Заметим, что решить задачу можно было бы проще, если вспомнить тот факт, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов(так называемое характеристическое свойство арифметической прогрессии). Но это свойство часто забывают.
Уже исходя из определения, в силу последовательности данных чисел, можно записать:
2x + 1 - (7x-8) = d
x+6 - (2x+1) = d
Получили простейшую систему уравнений с двумя неизвестными. Решаем очевидным образом её:
2x + 1 - 7x + 8 = d -5x + 9 = d
x + 6 - 2x - 1 = d -x + 5 = d
-5x + 9 = -x + 5
-4x = -4
x = 1
Заметим, что решить задачу можно было бы проще, если вспомнить тот факт, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов(так называемое характеристическое свойство арифметической прогрессии). Но это свойство часто забывают.