⦁ Выполните умножение применив формулу разности квадратов двух чисел. (х-у) (х+у) , (2а-3b)(3b+2а) , (8b+5а)(5а-8b) ,

(10x-7y) (10x+7y) , (2x - 1)(2x+ 1) , (8c+ 9d)(9d - 8c) ,

(c+ d) (c - d)

Показать ответ

Ответ:

GaLat666

24.03.2023 05:42

$8.58. \ 4^{x} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

$(2^{x})^{2} - (2a + 1)2^{x} + a^{2} + a < 0$

Замена: $2^{x} = t, \ t 0$

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a < 0$

Имеем квадратичную функцию $f(t) = t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a$ , графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем возможные точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Для этого решим квадратное уравнение:

$t^{2} - (2a + 1)t + a^{2} + a = 0$

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = (2a + 1)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + a) = 4a^{2} + 4a + 1 - 4a^{2} - 4a = 1$

Имеем D = 1 0 , значит данное уравнение имеет ровно 2 корня:

$t_{1} = \dfrac{(2a + 1) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 + 1}{2} = a + 1$

$t_{2} = \dfrac{(2a + 1) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2a + 1 - 1}{2} = a$

Имеем две точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Пусть $t_{1} < t_{2}$ . Тогда $a + 1 < a; \ 1 < 0$ . Имеем неверное неравенство. Следовательно, при всех значениях параметра имеем $t_{1} t_{2}$ .

Тогда квадратичная функция f(t) будет меньше 0 при $t \in (t_{2}; \ t_{1})$

Последнее можно записать так:

$\displaystyle \left \{ {{t t_{2}} \atop {t < t_{1}}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{t a \ \ \ \ \ } \atop {t < a + 1}} \right.$

Обратная замена:

$\displaystyle \left \{ {{2^{x} a \ \ \ \ \ } \atop {2^{x} < a + 1}} \right.$

Если $a \leq -1$ , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R}} \atop {x \in \varnothing }} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x \in \varnothing$

Если , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является $x < \log_{2}(a+1)$

Если a 0 , то имеем: $\displaystyle \left \{ {{x \log_{2}a \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.$

Решением такой системы неравенств является интервал $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1))$

если $a \in (-\infty; \ -1]$ , то нет корней;если $a \in (-1; \ 0]$ , то $x \in (-\infty; \ \log_{2}(a+1));$ если $a \in (0; \ +\infty)$ , то $x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1)).$

0,0(0 оценок)

Ответ:

elektroo67

24.03.2023 05:42

Проверим a=0 : имеем уравнение $-2x=0\Rightarrow x=0$ - очевидно, не положительное решение, поэтому данное значение параметра не пойдет в ответ.

При $a\neq 0$ уравнение - квадратное вида ax^2+bx+c=0 . Коэффициенты: a=a (внезапно), b=-2(a+1) , c=-5a . Уравнение должно иметь корни по условию, т.е. его дискриминант как минимум не должен быть меньше 0.

Ищем дискриминант:

$D=b^2-4ac=(-2(a+1))^2-4a\cdot(-5a)=4(a+1)^2+20a^2=4(a^2+2a+1)+20a^2=24a^2+8a+4.$

Найдем дискриминант трехчлена 24a^2+8a+4 : $D=8^2-4\cdot4\cdot24$

Это значит что при любых выражение 24a^2+8a+4 , т.е. исходное уравнение всегда имеет 2 корня.

Могут быть три ситуации: 1) оба корня отрицательные; 2) корни имеют разные знаки; 3) оба корня положительные. Условию (нужно как минимум одно положительное решение) удовлетворяют только 2 и 3.

Проверим второй случай. Если корни имеют разные знаки, то достаточно условия $x_1\cdot x_2$ . По теореме Виета $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$ Так как в нашем случае c=-5a, a=a , то $x_1\cdot x_2=-\frac{5a}{a}=-5$ при любых . Т.е. при любых значениях параметра (кроме a=0 ) корни имеют разные знаки. Т.е. 3 случай уже можно не рассматривать, так как оба корня не могут быть положительными.