Интеграл от единицы по промежутку [a,b] равен длине этого промежутка:Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования:Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов:При перестановке местами пределов интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный:Если нижний и верхний пределы интегрирования совпадают между собой, то интеграл равен нулю:Если функция f(x) интегрируема на каждом из промежутков [a,b], [a,c] и [c,b], то
Если среди a, b,c есть одинаковые, то ответ очевиден (если, скажем, a=b, то выражение обращается в ноль при x=a=b). Пусть они все разные. Обозначив функцию, стоящую в левой части уравнения, через f(x), сосчитаем f(a)=(a-b)(a-c); f(b)=(b-a)(b-c); f(c)=(c-a)(c-b). Тогда f(a)·f(b)·f(c)= -(a-b)^2(b-a)^2 (c-a)^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.
f(a)=(a-b)(a-c); f(b)=(b-a)(b-c); f(c)=(c-a)(c-b). Тогда
f(a)·f(b)·f(c)= -(a-b)^2(b-a)^2 (c-a)^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.