В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
kiraн1999
kiraн1999
04.04.2021 05:27 •  Алгебра

вычислить сумму членов ряда.

Показать ответ
Ответ:
aksiniaplotniko
aksiniaplotniko
14.10.2020 07:48

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}

Здесь n-й член ряда u_{n} = \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} является правильной рациональной дробью относительно n. Разложим u_{n} на сумму простейших дробей:

\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{A}{n^{2}} + \dfrac{B}{n}+ \dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{D}{n + 1}

2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)

Если n = 0, то A = 1

Если n = -1, то 2 \cdot (-1) + 1 = C \Rightarrow C = -1

Коэффициенты около n^{1}: \ 2 = 2A + B; \ B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0

Коэффициенты около n^{3}: \ 0 = B + D; \ D = -B = 0

Итог: \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}

Поэтому S_{n} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{5}{4 \cdot 9} + ... + \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =

= \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} \right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \right) = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}

\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}\right) = 1

Следовательно, \displaystyle \exists \lim_{n \to \infty} S_{n}, ряд сходится, а сумма ряда S = \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = 1

ответ: 1.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота