Войти Регистрация Спроси ai-bota

вычислить сумму членов ряда.

Показать ответ

Ответ:

aksiniaplotniko

14.10.2020 07:48

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$

Здесь -й член ряда $u_{n} = \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ является правильной рациональной дробью относительно . Разложим $u_{n}$ на сумму простейших дробей:

$\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{A}{n^{2}} + \dfrac{B}{n}+ \dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{D}{n + 1}$

$2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)$

Если n = 0 , то A = 1

Если n = -1 , то $2 \cdot (-1) + 1 = C \Rightarrow C = -1$

Коэффициенты около $n^{1}: \ 2 = 2A + B; \ B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0$

Коэффициенты около $n^{3}: \ 0 = B + D; \ D = -B = 0$

Итог: $\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

Поэтому $S_{n} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{5}{4 \cdot 9} + ... + \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =$

$= \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} \right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \right) = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}\right) = 1$

Следовательно, $\displaystyle \exists \lim_{n \to \infty} S_{n}$ , ряд сходится, а сумма ряда $S = \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = 1$

ответ: 1.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

DarthMalgus

28.11.2020 14:36

В ящике 28 деталями нужно проверить качество изготовления берут одновременно по 2 детали вероятность брака 2!4 какова вероятность что обе детали окажутся бракованными...

Demorage

19.08.2021 12:26

Сдоказать, что число 6^12 - 1 делится на 37...

Tema20181234

19.08.2021 12:26

Точка с — середина отрезка ав = 38 см, точка о — середина отрезка вс. найдите длину отрезка ао (в сантиметрах)....

deniza0906

19.08.2021 12:26

Корень из 1-х2 найти область значений...

Gfgjlol

19.08.2021 12:26

Постройте график функции y=x-2,5 на листочке если можно...

00001Wolf

19.08.2021 12:26

Токарь выточил за день 54 детали, что составило 75% его дневной нормы. какова дневная норма токаря?...

tatyanavartanyp06xy5

19.08.2021 12:26

Какими свойствами обладает сумма; произведение; частное рациональных чисел?...

ggez2

19.08.2021 12:26

Найти значения других тригонометрических выражений если: известно что cos(альфа) = 0,6 и пи...

makssssimfrank

15.10.2021 01:25

Как найти значение переменно х? при котором значения выражений 2х-0,5 и 2,5-1,5х равны...

лейла20032

22.01.2023 08:30

Расстояние между двумя железнодорожными станциями а и в равно 300км. от станции а по направлению к в вышел пассажирский поезд. одновременно навстречу ему из в вышел...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку