В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
Центравой
Центравой
07.04.2021 17:38 •  Алгебра

Вычислить комплексное число в виде тригонометрической записи
(1+i)⁹×(1-i)¹⁵

Показать ответ
Ответ:
Артем620
Артем620
14.07.2022 22:00

(1+i)^9\cdot (1-i)^{15}

Рассмотрим число z=1+i. Запишем его в тригонометрической форме:

|z|=\sqrt{1^2+1^2} =\sqrt{2}

\arg z=\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{1} =\dfrac{\pi }{4}

\Rightarrow 1+i=\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4}\right)

Аналогично, преобразуем число z=1-i:

|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt{2}

\arg z=\mathrm{arctg}\,\dfrac{-1}{1} =-\dfrac{\pi }{4}

\Rightarrow 1-i=\sqrt{2} \left(\cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)

Для возведения комплексного числа в степень воспользуемся формулой Муавра:

(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)

Получим:

(1+i)^9=\left(\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4}\right)\right)^9=(\sqrt{2})^9 \left(\cos \dfrac{9\pi }{4} +i\sin\dfrac{9\pi }{4}\right)

(1-i)^{15}=\left(\sqrt{2} \left(\cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)\right)^{15}=

=(\sqrt{2})^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)

Далее, воспользуемся правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

\rho_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\cdot\rho_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\rho_1\rho_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))

Получим:

(\sqrt{2})^9 \left(\cos \dfrac{9\pi }{4} +i\sin\dfrac{9\pi }{4}\right)\cdot(\sqrt{2})^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)=

=(\sqrt{2})^{9+15} \left(\cos\left(\dfrac{9\pi }{4}-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(\dfrac{9\pi }{4}- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)=

=(\sqrt{2})^{24} \left(\cos\left(-\dfrac{6\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right)\right)=2^{12} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(- \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=

=4096 \left(\cos\left(2\pi -\dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=\boxed{4096 \left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)}

Получен ответ в тригонометрической форме записи. При необходимости его представить в алгебраической:

4096 \left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)=4096(0+i\cdot1)=4096i

Решение можно было несколько упростить, применив в начале формулу разности квадратов:

(1+i)^9\cdot (1-i)^{15}=(1+i)^9\cdot (1-i)^9\cdot(1-i)^6=((1+i)(1-i))^9\cdot(1-i)^6=

=(1^2-i^2)^9\cdot(1-i)^6=(1+1)^9\cdot(1-i)^6=2^9\cdot(1-i)^6=

=2^9\cdot\left(\sqrt{2} \left( \cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)\right)^6=

=2^9\cdot(\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right)\right)=

=2^{9+3} \left( \cos\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=\boxed{4096 \left( \cos\dfrac{\pi }{2} +i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)}

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота