Во дворце культуры произвели ремонт зрительного зала, в котором число рядов меньше числа мест в ряду. До ремонта в нем было 770 мест, а стало 660. Во время ремонта убрали 2 ряда целиком и по 2 кресла в каждом ряду. Сколько теперь рядов в зрительном зале?
Разложим sin2x.
3cos²x - 5sinxcosx - 2sin²x = 0
Разделим на cos²x (cosx ≠ 0).
3 - 5tgx - 2tg² = 0
2tg²x + 5tgx - 3 = 0
Пусть t = tgx.
2t² + 5t - 3 = 0
D = 25 + 3•4•2 = 49 = 7².
t = (-5 + 7)/4 = 1/2
t = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3
Обратная замена:
tgx = 1/2
x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z
tgx = -3
x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.
2) √3sinx - cosx = 2
√3/2sinx - 1/2cosx = 1
cos(π/6)sinx - sin(π/6)cosx = 1
По формуле синуса разности аргументов:
sin(x - π/6) = 1
x - π/6 = π/2 + 2πn, n ∈ Z
x = π/2 + π/6 + 2πn, n ∈ Z
x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
sin 2a = 2sin a*cos a
Поэтому
sin 2x*cos 2x - sin x*cos x = 1/2*sin 4x - 1/2*sin 2x = 0
sin 4x - sin 2x = 0
По формуле разности синусов
sin a - sin b = 2sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
Поэтому
sin 4x - sin 2x = 2sin((4x-2x)/2)*cos((4x+2x)/2) = 2sin x*cos 3x = 0
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0
sin x = 0; x1 = pi*k
cos 3x = 0; 3x = pi/2 + pi*n; x2 = pi/6 + pi*n/3
2) Есть такая формула
sin a + cos a = √2*(sin a*1/√2 + cos a*1/√2) =
= √2*(sin a*cos pi/4 + cos a*sin pi/4) = √2*sin (a+pi/4)
Поэтому
sin (x/2) + cos (x/2) = √2*sin (x/2 + pi/4) = 1
sin (x/2 + pi/4) = 1/√2
x/2 + pi/4 = pi/4 + 2pi*k; x/2 = 2pi*k; x1 = 4pi*k
x/2 + pi/4 = 3pi/4 + 2pi*n; x/2 = 2pi/4 + 2pi*n = pi/2 + 2pi*n; x2 = pi + 4pi*n