Внутри клетчатого прямоугольника закрашено несколько клеток, образующих квадрат. Оказалось, что закрашенные клетки есть в 20 % строк и в 45 % столбцов. Из скольких клеток может состоять такой прямоугольник?
Варианты (А) 1800 (Б) 900 (В) 450 (Г) 300 (Д) 100

Пусть прямоугольник содержит строк и столбцов. Найдем его площадь:

По смыслу задачи это искомое число клеток прямоугольника. Обозначим его буквой М, где :

Закрашенные ячейки содержат строк и столбцов. Найдем площадь закрашенной области:

Но закрашенная область - это квадрат. Найдем его сторону:

Полученное число соответствует некоторому количеству клеток, а значит должно быть натуральным:

Кроме этого, число составляет 20 % и 45 % от натуральных чисел, выражающих количество строк и столбцов в исходном прямоугольнике. то есть:

Преобразуем числа:

Заметим, что первое условие выполняется при ранее поставленном условии , поэтому его далее учитывать не будем.

Таким образом должно выполниться два условия:

Эти условия можно объединить в одно.

Если выполнятся условия , то и предыдущие условия будут верны. А для проверки этих условий достаточно проверить, что .

Варианты ответа 1800, 450, 300, очевидно, не подходят, потому что это не точные квадраты.

Проверяем вариант ответа 900:

Проверяем вариант ответа 100:

ответ: Б) 900

а- сторона квадрата, нат число

прямоугольник: стороны b, c - тоже натуральные, b>=c

b=a/20%=5a , где а - сторона квадрата

с=а/45%=20а/9

S=bc=(100a^2)/9

100(а^2)/9 = 1800;900;450;300;100

а^2= 9*9*2 ; 9*9 ; 9*9*5 ; 9*9*3 ; 9

значения удовлетворяющие нат значению а:

а^2=81 и а^2=9

то есть а=9 или а=3

найдем b и с:

а=9: b=45, c=20 - подходит

a=3: b=15, c=20/3 - не уд

значит подходит 900 - ответ "Б"