Переписываем уравнение прямой в виде y=-3*x+4. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=-3. Так как касательные к окружности перпендикулярны к данной прямой, то их угловой коэффициент k2=-1/k1=1/3. Будем искать уравнения касательных в виде y-y1=k2*(x-x1) и y2=k2*(x-x2), где x1,x2 и y1,y2 - абсциссы и ординаты точек касания. Запишем уравнение окружности в виде F(x,y)=(x-1)²+(y+3)²-40=0. Эта функция является неявной по отношению к x. Дифференцируя её по x и учитывая при этом, что y также является функцией от x, находим dF/dx=2*(x-1)+2*(y+3)*y'=0. Отсюда производная y'(x)=(1-x)/(y+3). Но y'(x1)=(1-x1)/(y1+3), а y'(x2)=(1-x2)=(y2+3). А так как y'(x1)=y'(x2)=k2=1/3, то отсюда следует система уравнений:
(1-x1)/(y1+3)=1/3 (1-x2))/(y2+3)=1/3
Но так как при этом точки касания принадлежат окружности, то их координаты должны удовлетворять и её уравнению. Поэтому к написанной выше системе добавляются ещё два уравнения:
(x1-1)²+(y1+3)²=40 (x2-1)²+(y2+3)²=40
Решая теперь получившуюся систему из 4-х уравнений, находим x1=-1⇒y1=3 либо x1=3⇒y1=-9. А так как для x2 и y2 уравнения точно такие, как для x1 и y1, то и решения получаются одинаковыми: x2=x1, y2=y1. Так и должно быть, потому что окружность имеет лишь две касательных, перпендикулярных данной прямой - соответственно и точек касания будет лишь две. Составляем теперь уравнения касательных: y-3=1/3*(x+1) и y+9=1/3*(x-3). Эти уравнения приводятся к виду x-3*y+10=0 и x-3*y-30=0. ответ: x-3*y+10=0, x-3*y-30=0.
(1-x1)/(y1+3)=1/3
(1-x2))/(y2+3)=1/3
Но так как при этом точки касания принадлежат окружности, то их координаты должны удовлетворять и её уравнению. Поэтому к написанной выше системе добавляются ещё два уравнения:
(x1-1)²+(y1+3)²=40
(x2-1)²+(y2+3)²=40
Решая теперь получившуюся систему из 4-х уравнений, находим x1=-1⇒y1=3 либо x1=3⇒y1=-9. А так как для x2 и y2 уравнения точно такие, как для x1 и y1, то и решения получаются одинаковыми: x2=x1, y2=y1. Так и должно быть, потому что окружность имеет лишь две касательных, перпендикулярных данной прямой - соответственно и точек касания будет лишь две. Составляем теперь уравнения касательных: y-3=1/3*(x+1) и y+9=1/3*(x-3). Эти уравнения приводятся к виду x-3*y+10=0 и x-3*y-30=0. ответ: x-3*y+10=0, x-3*y-30=0.
3 игральных кости
Число всех исходов: 6*6*6=216
Благоприятный исход: 13 очков
Возможные комбинации:
Для вычисления комбинаций, из 2-х цифр, используем формулу сочетания из 2-х объектов по 3:
С²₃=3!/(3!-2!)*2!=1*2*3/1*2=3
Для вычисления комбинаций из 3-х цифр, используем формулу перестановки 3 объектов:
Р₃=3!=1*2*3=6
1-6-6 - 3 комбинации (166; 616; 661)
2-5-6 - 6 комбинаций (256; 526; 625; 562; 652; 265)
4-4-5 - 3 комбинации
5-5-3 - 3 комбинации
3-4-6 - 6 комбинаций
Всего, благоприятных исходов: 3+3+3+6+6=21
Вероятность благоприятного исхода - это отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов:
Р(А)=n/m, где m=216 n=21
21/216=0.097(2) ≈ 0.1