Вариант 3. 1. разложите на множители: 1) 1000m³ - n³; 3) -8x² - 16xy – 8y²; 5) 256 - . 2) 81a³ – ab²; 4) 5mn + 15m – 10n – 30; 2. выражение: a y(y - 5)(y + 5) – (y + 2)(y² - 2y + 4). 3. разложите на множители: -2x ³ - 28x² - 98x; 3) a + - ay³ - y³. 2) 25x² - 10xy + y² - 9; 4. решите
уравнение: 1) 2x³ - 32x = 0; 3) x³ + 6x² - x - 6 = 0. 2) 81x³ + 18x² + x = 0; 5. докажите, что значение выражения 2(в 9 степени)+ 10(в 3 степени) делится нацело на 18. 6. известно, что a - b = 10, ab = 7. найдите значение выражения. !
Производная этой функции равна:
Так как переменная производной находится в знаменателе, то производная не равна 0 и поэтому функция не имеет ни минимума, ни максимума.
1 f(x) = (- 3 / (x + 1)³) - 2 Область определения функции
Точки, в которых функция точно не определена:x1 = -1.
Функция только убывающая:
-1 > x >-∞ и ∞ > x >-1.
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = , значит надо решить уравнение: 1 -------- - 2 = 0 3 (x + 1) Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение 2/3 2 x1 = -1 + ---- 2 Численное решениеx1 = -0.206299474016
Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в 1/((x + 1)^3) - 2.1 -- - 2 3 1 Результат:f(0) = -1Точка:(0, -1)
График функции f = 1/((x + 1)^3) приведен в приложении.
2Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx -3 ---------------- = 0 3 (x + 1)*(x + 1) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит экстремумов у функции нет
Точки перегибов. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 12 -------- = 0 5 (1 + x) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты. Есть:x1 = -1
Горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 1 lim -------- - 2 = -2 x->-oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты слева:y = -2 1 lim -------- - 2 = -2 x->oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты справа:y = -2
Наклонные асимптоты. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/((x + 1)^3) - 2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->-oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции. Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 1 1 -------- - 2 = -2 + -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет 1 1 -------- - 2 = 2 - -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Строим поэтапно:
1)у = х + 3 - прямая
2)у = |x + 3|- отражаем часть графика, расположенную ниже оси Ох симметрично оси ох .
3)у= - |x + 3|- отражаем весь график y = |x + 3| симметрично относительно оси Ох.
4)у=1-|x+3| параллельный перенос графика у= - |x + 3| на 1 единицу вверх.
5)у=| 1 - | x + 3 || - часть графика у=1-|x+3| расположенную ниже оси Ох отражаем симметрично относительно оси ох вверх.
Раскрываем модуль
Если х+3≥0, то |x+3|=x+3
Это и означает, что при х≥-3 строим график у=х+3
Если х+3 < 0, то |x+3|=-(x+3)
Это означает, что при х < -3 строим график у=-х-3 ( отражаем симметрично оси Ох часть графика у=х+3 расположенную ниже оси Ох)
Если 1-|x+3|≥0, то есть |x+3| ≤ 1 или -1 ≤ х+3 ≤ 1 или -4 ≤x ≤ -2
|1-|x+3||=1-|x+3|
Это означает, что на [-4;-2] строим график у=1-|x+3|, который в свою очередь состоит из двух участков
На [-4;-3) |x+3|=-x-3 поэтому у=1+х+3=х+4
На [-3;-2] |x+3|=x+3 у=1-х-3=-х-2
Если 1-|x+3|< 0, то есть опять два случая
|x+3| > 1 или х+3>1
у=-1+|x+3|
На (-∞;-4) |x+3|=-x-3, поэтому у=-1-х-3=-х-4
На (-2;+∞) |x+3|=x+3, поэтому у=-1+х+3=х+2
О т в е т.
{-x-4, если х < - 4;
{x+4, если -4≤х<-3;
|1-|x+3||= {-х-2, если -3≤x≤-2;
{ x+2, если x>-2
cм. рис. 5