Варіант 16 1. Відомо, що x27, 24y4. Оцініть значення виразу: 1)2x+y, 2)xy, 3)х-у.
2. Порівняйте х та у, якщо x-y=-2
3. Зобразіть множину розв'язків нерівності х2 на координатній прямій.
4. Відомо, що а 5. Розв'яжіть нерівність:
а) 3х + 2.5 5x - 4.5;
б) 3(х - 5) + 2 » 2(x-1) + 3(х + 2); г)
B)
При яких значеннях а рівняння ах2 + 12х + 12 = 0 не має коренів?
Доведіть нерівність
6.
sinx + cos x + sin2x = 1
sin x + cos x + 2sinx cosx -1=0
sin x + cos x +2sinx cosx -(sin²x+cos²x)=0
(sin x + cos x) + 2sinx cos x - (sin²x+cos²x+2sinx cosx -2sinx cos x)=0
(sin x+ cos x)+2sinx cosx - (sin x + cos x)² +2sinx cosx=0
(sin x + cos x)² + (sinx + cosx)+4sinxcosx=0
Пусть sin x + cos x = t причем (-√2 ≤ t ≤ √2), тогда возведем оба части до квадрата, имеем
(sin x + cos x)² = t²
1+2sinx cosx = t²
2sinxcosx = t²-1
Заменяем
t²+t+2*(t²-1)=0
t²+t+2t²-2=0
3t²+t-2=0
D=1+24 = 25
t1=(-1+5)/6=2/3
t2=(-1-5)/6 = -1
Возвращаем к замене
\begin{gathered}\sin x+\cos =-1\\ \sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=-1 \\ \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x+ \frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\\ x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{4}- \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\end{gathered}
sinx+cos=−1
2
sin(x+
4
π
)=−1
sin(x+
4
π
)=−
2
1
x+
4
π
=(−1)
n+1
4
π
+πn,n∈Z
x=(−1)
n+1
4
π
−
4
π
+πn,n∈Z
\begin{gathered}\sin x+\cos x= \frac{2}{3} \\ \sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4})= \frac{2}{3} \\ \sin (x+ \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{3} \\ x=(-1)^n\arcsin( \frac{ \sqrt{2} }{3} )- \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\end{gathered}
sinx+cosx=
3
2
2
sin(x+
4
π
)=
3
2
sin(x+
4
π
)=
3
2
x=(−1)
n
arcsin(
3
2
)−
4
π
+πn,n∈Z
Объяснение:
Чтобы упростить выражение ((x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y)) : xy/(x^2 - y^2) выполним сначала действие в скобках.
Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого домножим первую дробь на (х + у), а вторую на (х - у):
(x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y) = ((х + y)^2 - (x - y)^2))/(x^2 - y^2) = (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2)/(x^2 - y^2) = 4xy/(x^2 - y^2).
Теперь выполним деление дробей. Как известно при деление дроби на дробь действие деление заменяется умножением и вторая дробь переворачивается.
4xy/(x^2 - y^2) * (x^2 - y^2)/xy = 4.