Алгебра: ІВ Знайдіть множину значень функції

Пусть у нас имеется множество таких пар. И рассмотрим две пары из этого множества: и .Соответственно для этих двух пар должны быть выполнены основные условия:Введём на этом множестве операции сложения двух пар и умножения их на некоторое действительное число :Необходимо обеспечить выполнение всех 8 аксиом линейного пространства. а)Рассмотрим операцию сложения. 1)Свойство коммутативности(). Очевидно, это выполняется исходя из того, как определена операция сложения. 2)Свойство...

ІВ
Знайдіть множину значень функції

ІВ Знайдіть множину значень функції

Показать ответ

Ответ:

золотое5руно

19.04.2022 01:10

Три условия

$N = 2p\\ N = q^3\\ N = 2r^2$

Итак, первое условие выполнится, если выполнится третье, поэтому сосредоточимся на последних двух

N = q^3 = 2r^2

Как видим, q обязано делиться на 2. Поэтому

$q = 2q_1\\ 8q_1^3 = 2r^2\\ 4q_1^3 = r^2$

Теперь и r должно делиться на 2, чтобы r^2 делилось на 4

$r = 2r_1\\ q_1^3 = r_1^2$

Ну все, теперь задача найти все такие кубы q_1^3

, чтобы они еще были и квадратами. Тогда исходное число найдем в виде

N = q^3 = 8q_1^3

Заметим, что область поиска ограничена, ибо
$N\ \textless \ 1000000\\
8q_1^3\ \textless \ 1000000\\
q_1^3\ \textless \ 125000 = (50)^3 = (5\sqrt{2})^6$

Куб числа q можно разложить на простые множители:
$q_1^3 = \pi_1^{3m_1}\pi_2^{3m_2}...\pi_z^{3m_z}$

Чтобы это число было еще и квадратом, необходимо чтобы все степени простых чисел были еще и четными. То есть годятся 0, 6, 12 и так далее степени простых чисел. Одним словом, q_1^3 должно быть 6-й степенью некого натурального числа x, причем это число должно быть меньше 5√2≈7.07. Таких x существует ровно 7, и это ответ. Но ниже мы приведем все исходные числа

$x = 1,2,3,4,5,6,7\\
N = 8q_1^3 = 8x^6 = 8, 512, 5832, 32768,125000,373248,941192$

Еще раз подчеркнем, что общая формула для чисел, удовлетворяющих условиям задачи

$N = 8x^6,\qquad x\in\mathbb{N}$

0,0(0 оценок)

Ответ:

nikitarm756

08.05.2022 20:48

Пусть у нас имеется множество таких пар. И рассмотрим две пары из этого множества: $z_{1}=( x_{1} , y_{1} )$ и $z_{2}=( x_{2} , y_{2} )$ .

Соответственно для этих двух пар должны быть выполнены основные условия:
$x_{1} + y_{1} = a-1$
$x_{2} + y_{2} = a-1$

Введём на этом множестве операции сложения двух пар и умножения их на некоторое действительное число $\alpha$ :
$z_{1} + z_{2} = ( x_{1} + x_{2} , y_{1} + y_{2} )$
$\alpha z_{1} = ( \alpha x_{1} , \alpha x_{2} )$

Необходимо обеспечить выполнение всех 8 аксиом линейного пространства.
    а)Рассмотрим операцию сложения.
         1)Свойство коммутативности( $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ ). Очевидно, это выполняется исходя из того, как определена операция сложения.
         2)Свойство ассоциативности( $(z_{1} + z_{2} ) + z_{3} = z_{1} + ( z_{2} + z_{3} )$ ) Выполняется всегда. Чтобы убедиться, возьмите третью пару этого множества и произведите сложение по определению.

         3)В линейном пространстве обязан существовать нуль-вектор, такой, что $z_{1} + 0 = z_{1}$ . Здесь под нулём я имел в виду не число 0, а элемент линейного пространства, обладающий такими свойствами.
           Существует ли нулевая пара чисел в нашем множестве? При каких а это будет возможно?
           Очевидно, для обычного числа

справедливо t + 0 = t

. Поэтому
                            $z_{1} + 0 = ( x_{1} , y_{1} ) + (u, v) = ( x_{1} + u, y_{1} + v)= z_{1} = ( x_{1}, y_{1})$
Из этого равенства можно сразу записать, что
                     $x_{1} + u = x_{1} \\ x_{2} + v = x_{2}$
                     Откуда u = 0, v = 0

Итак, нулевая пара в нашем множестве имеет вид 0 = (0,0)

А поскольку для каждой пары выполняется указанное в условии соотношение, то:

                                              $x + y = 0 + 0 = a - 1 \\ a = 1$
Тогда соотношение принимает вид

, то есть

        4)Для любого вектора найдём в этом множестве противоположный, такой, что
                   $z_{1} + (- z_{1} ) = ( x_{1} , y_{1} ) + (u,v) = 0 = (0,0)$
           Отсюда
                          $( x_{1} + u, y_{1} + v) = (0,0) \\ x_{1} + u = 0, y_{1} + v = 0 \\ u = - x_{1} , v = - y_{1}$
Таким образом, на множестве ДЛЯ КАЖДОГО вектора существует и противоположный вектор, причём
              -z = (-x,-y)

Выполнение остальных аксиом здесь, в общем-то, достаточно очевидно, а именно
$1\cdot z_{1} = z_{1}$
$\alpha ( \beta z_{1}) = ( \alpha \beta )z_{1} \\ ( \alpha + \beta )z_{1} = \alpha z_{1} + \beta z_{1} \\ \alpha (z_{1} + z_{2}) = \alpha z_{1} + \alpha z_{2}$
Здесь $\alpha , \beta$ полагаются действительными, а пары чисел - любые.

Справедливость этих аксиом следует из свойств операции сложения для обычных чисел.

Таки образом, установлено, что при a = 1

наше множество - действительно является линейным пространством.
Докажем, что при $a \neq 1$ оно уже таковым не является. Для этого возьмите любую пару чисел z = (x,y)

. Теперь умножим вектор на число
     $\alpha \neq 1$ ,
                         $\alpha z = ( \alpha x, \alpha y)$ . Тогда его координаты должны удовлетворять указанному в условии сотношению
                                      $\alpha x + \alpha y = a-1 \\ \alpha (x + y) = \alpha (a-1) \neq a-1$ ни при каком а.

Следовательно, при $a \neq 1$ указанное множество уже теряет свойства линейного пространства.

ответ: a = 1