В ящике лежит 20 пачек электродов. Вероятность того, что пачка электродов отсырела равна 0,3. Какова вероятность того, что выбранная наугад пачка электродов будет пригодна к работе? \ с полным решением
k∈Z | sin x |≤1, значит k=-1 или k=1 sin x =1, x=π/2+2πn. n∈Z sin x =-1, x= -π/2 + 2πm, m∈Z
2) π·cosx=πk, k∈Z cosx=k, k∈Z Функция у=cos x ограничена, | cos x |≤1 при k=-1 cos x =-1, x = π+2πn, n∈Z при k=1 cos x=1, x = 2πm, m∈Z при k=0 cos x=0, x = π/2+πl, l∈Z 3) В силу ограниченности функций косинус и синус: -1≤cos2 x≤1 -2≤ 2cos 2x≤2 (1)
-1≤sin5x≤1 -1≤-sin5x≤1 (2)
Сложим (1) и (2) -3≤2 cos 2x-sin5x≤3
Значит равенство -3 возможно лишь при
k,n∈Z
k,n∈Z
ответ. х=π/2+πk, k∈Z
4) cos²x+sin²x=1 Возведём обе части в квадрат: cos⁴ х+ 2 cos²x sin²x + sin ⁴x=1, cos⁴x+sin⁴x=1-2cos²xsin²x Данное уравнение примет вид: 1-2 sin²x cos²x=|sinx cos x| Введём новую переменную: | sin x cos x |= t, t>0 1-2t²-t=0 или 2t²+t-1=0 D=b²-4ac=1-4·2(-1)=9=3² t₁=(-1-3)/4=-1 (не удовлетворяет условию t>0) t₂=(-1+3)/4=1/2 |sinx cosx|=1/2 или | sin 2x |=1 а) sin2x=1 2x=π/2+2πk, k∈Z ⇒ x=π/4+πk, k∈Z или б) sin 2x =-1 2x=-π/2 +2πm, m∈Z ⇒ x=-π/4 +πm, m∈Z ответ x=π/4+πk, x=-π/4 +πm, k, m ∈Z
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2 Заменим: a-b=x b-c=y c-a=z x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 x^2+y^2+z^2=(x+2y)^2+(y+2z)^2+(z+2x)^2 x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4(y^2+x^2+z^2)+4(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2=-(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2+2(xy+yz+zx)=xy+yz+zx (x+y+z)^2=xy+yz+zx можно заметить что x+y+z=0 xy+yz+zx=0 2xy+2yz+2zx=0 Вернемся к исходному равенству: x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 Складывая его с полученным: x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 (x+y+z)^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 тк x+y+z=0 (a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2=0 Сумма квадратов 0 кагда каждый из них 0 a+b-2c=0 b+c-2a=0 c+a-2b=0 вычетая 1 и 2 уравнение получим: -2c+2a=0 c=a вычетая 2 и 3 получим 2b-2a=0 a=b Откуда a=b=c Чтд
k∈Z
| sin x |≤1, значит k=-1 или k=1
sin x =1, x=π/2+2πn. n∈Z
sin x =-1, x= -π/2 + 2πm, m∈Z
2) π·cosx=πk, k∈Z
cosx=k, k∈Z
Функция у=cos x ограничена, | cos x |≤1
при k=-1 cos x =-1, x = π+2πn, n∈Z
при k=1 cos x=1, x = 2πm, m∈Z
при k=0 cos x=0, x = π/2+πl, l∈Z
3) В силу ограниченности функций косинус и синус:
-1≤cos2 x≤1
-2≤ 2cos 2x≤2 (1)
-1≤sin5x≤1
-1≤-sin5x≤1 (2)
Сложим (1) и (2)
-3≤2 cos 2x-sin5x≤3
Значит равенство -3 возможно лишь при
k,n∈Z
k,n∈Z
ответ. х=π/2+πk, k∈Z
4) cos²x+sin²x=1
Возведём обе части в квадрат:
cos⁴ х+ 2 cos²x sin²x + sin ⁴x=1,
cos⁴x+sin⁴x=1-2cos²xsin²x
Данное уравнение примет вид:
1-2 sin²x cos²x=|sinx cos x|
Введём новую переменную:
| sin x cos x |= t, t>0
1-2t²-t=0 или
2t²+t-1=0
D=b²-4ac=1-4·2(-1)=9=3²
t₁=(-1-3)/4=-1 (не удовлетворяет условию t>0) t₂=(-1+3)/4=1/2
|sinx cosx|=1/2 или | sin 2x |=1
а) sin2x=1
2x=π/2+2πk, k∈Z ⇒ x=π/4+πk, k∈Z
или
б) sin 2x =-1
2x=-π/2 +2πm, m∈Z ⇒ x=-π/4 +πm, m∈Z
ответ x=π/4+πk, x=-π/4 +πm, k, m ∈Z
Заменим:
a-b=x
b-c=y
c-a=z
x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
x^2+y^2+z^2=(x+2y)^2+(y+2z)^2+(z+2x)^2
x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4(y^2+x^2+z^2)+4(xy+yz+zx)
y^2+x^2+z^2=-(xy+yz+zx)
y^2+x^2+z^2+2(xy+yz+zx)=xy+yz+zx
(x+y+z)^2=xy+yz+zx
можно заметить что x+y+z=0
xy+yz+zx=0
2xy+2yz+2zx=0
Вернемся к исходному равенству:
x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
Складывая его с полученным:
x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
(x+y+z)^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2
тк x+y+z=0
(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2=0
Сумма квадратов 0 кагда каждый из них 0
a+b-2c=0
b+c-2a=0
c+a-2b=0
вычетая 1 и 2 уравнение получим:
-2c+2a=0
c=a
вычетая 2 и 3 получим
2b-2a=0
a=b
Откуда a=b=c
Чтд