В ящике лежат 20 шариков , 12 из которых чёрные. Какова вероятность вытащить наугад :
а)чёрные шарик
б)три чёрных шарика за один день ?

Домножим и разделим первое слагаемое на 2²-1, получим

    1  

* ( (2²-1)(2²+1)*(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3 *2¹²⁸ = 

  2²-1                                                                                                                  

=1/3*( (2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )- 1/3*2¹²⁸= 

=1/3*( (2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ = 

=1/3*( (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)(2²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2²⁸ =

=1/3*( (2³²-1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3*2²⁸= 1/3( (2⁶⁴-1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ =   

=1/3*( 2¹²⁸-1)-1/3*2¹²⁸= 1/3*2¹²⁸ - 1/3 - 1/3*2¹²⁸ = -1/3

Через 1/4 часа, в момент, когда автобус встретился с машиной, автобус проехал
(1/4)*40 = 10км.

Расстояние в 10км машина преодолеет за 10/50 = 1/5ч.

За это время автобус проехал еще 40*(1/5) = 8км.

За 15мин(1/4ч) простоя автомобиля в городе A автобус проедет 40*(1/4) = 10км.

Итого автобус проехал из города A в город B 10+8+10 = 28км.
Через определенное время автомобиль догнал автобус, это выражается уравнением
50t-(40t+28)=0,где t - время, через которое расстояния пройденные машиной и автобусом сравняются
10t = 28
t = 2,8ч.
Расстояние, пройденное машиной за 2,8ч равно 50*2,8=140км.

Поскольку машина догнала автобус за 20км от города B, расстояние между городами будет равно 140+20 = 160км.