С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Мы находимся в условиях "испытаний Бернулли". Случайная величина Х - число возвращённых пар обуви - может принимать значения от 0 до 6. Найдём соответствующие вероятности [символом C(n,k)] обозначено число сочетаний из n по k]:
p0=(1-0,3)⁶=0,117649;
p1=C(6,1)*(1-0,3)⁵*(0,3)¹=0,302526;
p2=C(6,2)*(1-0,3)⁴*(0,3)²=0,324135;
p3=C(6,3)*(1-0,3)³*(0,3)³=0,18522;
p4=C(6,4)*(1-0,3)²*(0,3)⁴=0,059535;
p5=C(6,5)*(1-0,3)¹*(0,3)⁵=0,010206;
p6=(0,3)⁶=0,000729
Проверка: p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6=1 - значит, вероятности найдены верно. Составляем ряд распределения случайной величины Х:
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,117649 0,302526 0,324135 0,18522 0,059535 0,010206 0,000729
Математическое ожидание M[X]=∑xi*pi=1,8
Дисперсия D[X]=∑(xi-M[X])²*pi=1,26
Среднее квадратическое отклонение σ[X]=√D[X]≈1,12
Функция распределения F(x) задаётся условиями:
1. F(0)=p(X<0)=0;
2. F(1)=p(X<1)=p0=0,117649;
3. F(2)=p(X<2)=p0+p1=0,420175;
4. F(3)=p(X<3)=p0+p1+p2=0,74431;
5. F(4)=p(X<4)=p0+p1+p2+p3=0,92953;
6. F(5)=p(X<5)=p0+p1+p2+p3+p4=0,989065;
7. F(6)=p(X<6)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=0,999271;
8. F(x>6)=p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6=1.
По этим данным можно построить график функции распределения.
<!--c-->
Преобразим заданное уравнение:
x3+12x2−27x=a
С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
3x2+24x−27=0|÷3x2+8x−9=0D4=(b2)2−ac=822+9=25x1,2=−b2±D4−−√a=−82±25−−√1=−82±5x1=−82−5=−9x2=−82+5=1
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Объяснение:
Объяснение:
Мы находимся в условиях "испытаний Бернулли". Случайная величина Х - число возвращённых пар обуви - может принимать значения от 0 до 6. Найдём соответствующие вероятности [символом C(n,k)] обозначено число сочетаний из n по k]:
p0=(1-0,3)⁶=0,117649;
p1=C(6,1)*(1-0,3)⁵*(0,3)¹=0,302526;
p2=C(6,2)*(1-0,3)⁴*(0,3)²=0,324135;
p3=C(6,3)*(1-0,3)³*(0,3)³=0,18522;
p4=C(6,4)*(1-0,3)²*(0,3)⁴=0,059535;
p5=C(6,5)*(1-0,3)¹*(0,3)⁵=0,010206;
p6=(0,3)⁶=0,000729
Проверка: p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6=1 - значит, вероятности найдены верно. Составляем ряд распределения случайной величины Х:
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,117649 0,302526 0,324135 0,18522 0,059535 0,010206 0,000729
Математическое ожидание M[X]=∑xi*pi=1,8
Дисперсия D[X]=∑(xi-M[X])²*pi=1,26
Среднее квадратическое отклонение σ[X]=√D[X]≈1,12
Функция распределения F(x) задаётся условиями:
1. F(0)=p(X<0)=0;
2. F(1)=p(X<1)=p0=0,117649;
3. F(2)=p(X<2)=p0+p1=0,420175;
4. F(3)=p(X<3)=p0+p1+p2=0,74431;
5. F(4)=p(X<4)=p0+p1+p2+p3=0,92953;
6. F(5)=p(X<5)=p0+p1+p2+p3+p4=0,989065;
7. F(6)=p(X<6)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=0,999271;
8. F(x>6)=p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6=1.
По этим данным можно построить график функции распределения.