В квадрат, сторона которого равна 40 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т. д. (см. рис.).
Вычисли сумму площадей всех квадратов.
Сумма площадей всех квадратов равна ? см2
Выпишем несколько первых степеней тройки
3⁰=1
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
3⁵=243
3⁶=279
3⁷=2187
3⁸=6561
Мы видим, что последняя цифра циклически принимает значения 1, 3, 9 и 7.
Если остаток от деления степени на 4 равен 0, то получаем цифру 1.
Если остаток от деления степени на 4 равен 1, то получаем цифру 3.
Если остаток от деления степени на 4 равен 2, то получаем цифру 9.
Если остаток от деления степени на 4 равен 3, то получаем цифру 7.
Но тогда достаточно определить остаток от деления на 4 степени 2015 и по нему выбрать нужную цифру.
2015 / 4 = 503 и остаток 3.
Следовательно, искомая цифра 7
(х-1)³-2³=(3х)³-(2х+3)³
По формуле
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
(x-1-2)((x-1)²+2(x-1)+4)=(3x-2x-3)(9x²+3x·(2x+3)+(2x+3)²)
или
(x-3)·(х²-2х+1+2x-2+4)-(x-3)·(9x²+6х²+9х+4x²+12х+9)=0
или
(х-3)·(х²+3-19х²-21х-9)=0
(х-3)(-18х²-21х-6)=0
х-3=0 или 6х²+7х+2=0
х=3 D=49-4·6·2=1
x=(-7-1)/12=-2/3 или х=(-7+1)/12=-1/2
ответ. -2/3; -1/2; 3.
Можно и так, но вычисления более громоздкие.
По формуле a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).
(x-1)³+(2x+3)³=[a=x-1; b=2x+3]=
(x-1+2x+3)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)=(3x+2)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)
27x³+8=(3x)³+2³=(3x+2)((3x)²-(3x)·2+2²).
Уравнение примет вид
(3x+2)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)=(3x+2)((3x)²-(3x)·2+2²)
или
(3x+2)·((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²) - (3x+2)·((3x)²-(3x)·2+2²) = 0;
(3х+2)·((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²-(3x)²+(3x)·2-2²)=0;
3х+2=0 или (x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²-(3x)²+(3x)·2-2²=0
х=-2/3 или х²-2х+1-2х²+2х-3х+3+4х²+12х+9-9х²+6х-4=0
-6х²+15х+9=0
2х²-5х-3=0
D=25+24=49
x=(5-7)/4=-1/2 или х=(5+7)/4=3
О т в е т. -2/3; -1/2; 3.