В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Объяснение:

Когда таблица заполнена только единицами сумма произведений в строках и столбцах равна 50. При добавлении в таблицу (-1) произведение по столбцу может измениться на +2 или -2, аналогично по строке изменение произведения может составить либо +2 либо -2. Общее изменение суммы, таким образом, будет либо  -4, либо  0, либо +4. Так как шаг изменения равен 0 или кратен 4, а начальная сумма не делится на 4, то ни на каком шаге мы не получим нулевую сумму произведений по строкам и столбцам.