Мой ответ удалили как неполный, теперь даю полный, на все задачи. 1) 2sin^2 x + sin x - 3 = 0 Обычное квадратное уравнение относительно sin x. (sin x - 1)(2sin x + 3) = 0 sin x = 1; x = pi/2 + 2pi*k sin x = -3/2; решений нет ответ: x = pi/2 + 2pi*k
2) cos^2(pi - x) - sin(pi/2 - x) = 0 По формулам приведения (-cos x)^2 - cos x = 0 cos^2 x - cos x = 0 Обычное квадратное уравнение относительно cos x cos x*(cos x - 1) = 0 cos x = 0; x1 = pi/2 + pi*k cos x = 1; x2 = 2pi*n ответ: x1 = pi/2 + pi*k; x2 = 2pi*n
3) 3sin x + 2cos x = 0 3sin x = -2cos x Делим все на cos x и на 3. tg x = -2/3 Это не табличное значение, поэтому ответ: x = -arctg(2/3) + pi*k
4) 3sin x + 4cos x = 1 По формулам двойных углов sin 2a = 2sin a*cos a; cos 2a = cos^2 a - sin^2 a Вместо 2а подставляем х 3*2sin(x/2)*cos(x/2) + 4cos^2(x/2) - 4sin^2(x/2) = cos^2(x/2) + sin^2(x/2) -5sin^2(x/2) + 6sin(x/2)*cos(x/2) + 3cos^2(x/2) = 0 Однородное уравнение, делим все на cos^2(x/2) и на -1. 5tg^2(x/2) - 6tg(x/2) - 3 = 0 Обычное квадратное уравнение относительно tg x D/4 = 3^2 - 5(-3) = 9 + 15 = 24 = (2√6)^2 tg x1 = (3 - 2√6)/5 tg x2 = (3 + 2√6)/5 ответ: x1 = arctg((3 - 2√6)/5) + pi*k; x2 = arctg((3 + 2√6)/5) + pi*n
5) tg x = 3ctg x tg x = 3/tg x tg^2 x - 3 = 0 Обычное квадратное уравнение относительно tg x (tg x - √3)(tg x + √3) = 0 tg x1 = √3; x1 = pi/3 + pi*k tg x2 = -√3; x2 = -pi/3 + pi*n ответ: x1 = pi/3 + pi*k; x2 = -pi/3 + pi*n
6) 3tg^2 x - √3*tg x = 0 Обычное квадратное уравнение относительно tg x √3*tg x*(√3*tg x - 1) = 0 tg x1 = 0; x1 = pi*k tg x2 = 1/√3; x2 = pi/6 + pi*n ответ: x1 = pi*k; x2 = pi/6 + pi*n
7) sin 3x = cos 5x cos 5x - sin 3x = 0 Формула приведения cos 5x = sin(pi/2 - 5x) sin(pi/2 - 5x) - sin 3x = 0 Формула разности синусов sin a - sin b = 2sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2) Подставляем a = (pi/2 - 5x) и b = 3x 2sin((pi/2 - 5x - 3x)/2)*cos((pi/2 - 5x + 3x)/2) = 0 2sin(pi/4 - 4x)*cos(pi/4 - x) = 0 sin(pi/4 - 4x) = 0; pi/4 - 4x1 = pi*k; x1 = pi/16 - pi/4*k = pi/16 + pi/4*k1 cos(pi/4 - x) = 0; pi/4 - x2 = pi/2 + pi*n; x2 = pi/4 - pi/2 - pi*n = -pi/4 + pi*n1 ответ: x1 = pi/16 + pi/4*k; x2 = -pi/4 + pi*n
Y = ln(x+5)^5 - 5x Берем первую производную: y' = 1/(x+5)^5 * 5(x+5)^4 - 5 = 5/(x+5) - 5 Так как нас интересует экстремум, то ищем такие иксы, в которых производная равна нулю: y'=0 => 5/(x+5) - 5 =0 Решив это уравнение, получаем: x=-4 Осталось проверить является ли эта точка максимумом. Если это так, то значения производной в точках, лежащих слева от x=-4 положительны, а справа - отрицательны Пусть это будут точки x=-4.5 и x=0 f'(-4.5) = 5/(-4.5+5) - 5 = 10 - 5 = 5>0; f'(0) = 5/(0+5) - 5 = 1 - 5 = -4 <0 => x=-4 - точка максимума
1) 2sin^2 x + sin x - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно sin x.
(sin x - 1)(2sin x + 3) = 0
sin x = 1; x = pi/2 + 2pi*k
sin x = -3/2; решений нет
ответ: x = pi/2 + 2pi*k
2) cos^2(pi - x) - sin(pi/2 - x) = 0
По формулам приведения
(-cos x)^2 - cos x = 0
cos^2 x - cos x = 0
Обычное квадратное уравнение относительно cos x
cos x*(cos x - 1) = 0
cos x = 0; x1 = pi/2 + pi*k
cos x = 1; x2 = 2pi*n
ответ: x1 = pi/2 + pi*k; x2 = 2pi*n
3) 3sin x + 2cos x = 0
3sin x = -2cos x
Делим все на cos x и на 3.
tg x = -2/3
Это не табличное значение, поэтому
ответ: x = -arctg(2/3) + pi*k
4) 3sin x + 4cos x = 1
По формулам двойных углов
sin 2a = 2sin a*cos a; cos 2a = cos^2 a - sin^2 a
Вместо 2а подставляем х
3*2sin(x/2)*cos(x/2) + 4cos^2(x/2) - 4sin^2(x/2) = cos^2(x/2) + sin^2(x/2)
-5sin^2(x/2) + 6sin(x/2)*cos(x/2) + 3cos^2(x/2) = 0
Однородное уравнение, делим все на cos^2(x/2) и на -1.
5tg^2(x/2) - 6tg(x/2) - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
D/4 = 3^2 - 5(-3) = 9 + 15 = 24 = (2√6)^2
tg x1 = (3 - 2√6)/5
tg x2 = (3 + 2√6)/5
ответ: x1 = arctg((3 - 2√6)/5) + pi*k; x2 = arctg((3 + 2√6)/5) + pi*n
5) tg x = 3ctg x
tg x = 3/tg x
tg^2 x - 3 = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
(tg x - √3)(tg x + √3) = 0
tg x1 = √3; x1 = pi/3 + pi*k
tg x2 = -√3; x2 = -pi/3 + pi*n
ответ: x1 = pi/3 + pi*k; x2 = -pi/3 + pi*n
6) 3tg^2 x - √3*tg x = 0
Обычное квадратное уравнение относительно tg x
√3*tg x*(√3*tg x - 1) = 0
tg x1 = 0; x1 = pi*k
tg x2 = 1/√3; x2 = pi/6 + pi*n
ответ: x1 = pi*k; x2 = pi/6 + pi*n
7) sin 3x = cos 5x
cos 5x - sin 3x = 0
Формула приведения
cos 5x = sin(pi/2 - 5x)
sin(pi/2 - 5x) - sin 3x = 0
Формула разности синусов
sin a - sin b = 2sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
Подставляем a = (pi/2 - 5x) и b = 3x
2sin((pi/2 - 5x - 3x)/2)*cos((pi/2 - 5x + 3x)/2) = 0
2sin(pi/4 - 4x)*cos(pi/4 - x) = 0
sin(pi/4 - 4x) = 0; pi/4 - 4x1 = pi*k; x1 = pi/16 - pi/4*k = pi/16 + pi/4*k1
cos(pi/4 - x) = 0; pi/4 - x2 = pi/2 + pi*n; x2 = pi/4 - pi/2 - pi*n = -pi/4 + pi*n1
ответ: x1 = pi/16 + pi/4*k; x2 = -pi/4 + pi*n
Берем первую производную:
y' = 1/(x+5)^5 * 5(x+5)^4 - 5 = 5/(x+5) - 5
Так как нас интересует экстремум, то ищем такие иксы, в которых производная равна нулю: y'=0 => 5/(x+5) - 5 =0
Решив это уравнение, получаем: x=-4
Осталось проверить является ли эта точка максимумом. Если это так, то значения производной в точках, лежащих слева от x=-4 положительны, а справа - отрицательны
Пусть это будут точки x=-4.5 и x=0
f'(-4.5) = 5/(-4.5+5) - 5 = 10 - 5 = 5>0; f'(0) = 5/(0+5) - 5 = 1 - 5 = -4 <0
=> x=-4 - точка максимума