Пусть числа a,b,c составляют геометрическую прогрессию, тогда b²=ac увеличим второе число на 8,тогда a,b+8,c составляют арифметическую прогрессию ⇒ 2(b+8)=a+c увеличим третье число на 64 ,тогда a,b+8,c+64 составляют геометрическую прогрессию ⇒ (b+8)²=a(c+64)
имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными
Чтобы уравнение kx² + 2(k+1)x+k+3=0 имело 2 корня надо чтоб его дискриминант был положителен, напишем формулу дискриминанта D = b² - 4ac D = (2(k+1))² - 4*1*(k+3) = 4*k² + 8*k + 4 - 4*k - 12 = 4*k² + 4*k - 8 как было сказано - дискриминант должен быть больше нуля 4*k² + 4*k - 8 > 0 разделим на 4 (или преобразуем его к приведенному виду) k² + k - 2 > 0 по теореме Виета корни его -2 и 1т.к. коэффициент при k² положительный ветки параболы смотрят вверх и функция k² + k - 2 меняет знак в своих конях -2 и 1, поэтому D > 0 при k < -2 и k > 1 Уравнение имеет два корня при k < -2 и k > 1
b²=ac
увеличим второе число на 8,тогда a,b+8,c составляют арифметическую прогрессию ⇒
2(b+8)=a+c
увеличим третье число на 64 ,тогда a,b+8,c+64 составляют геометрическую прогрессию ⇒
(b+8)²=a(c+64)
имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными
{b²=ac {b²=ac
{2(b+8)=a+c {2b+16=a+c
{(b+8)²=a(c+64) {b²+16b+64=ac+64a
{b²=ac {b²=ac
{c=2b+16-a {c=2b+16-a
{ac+16b+64=ac+64a {b=4a-4
{b²=ac
{c=2(4a-4)+16-a=8a-8+16-a=7a+8
{b=4a-4
(4a-4)²=a(7a+8)
16a²-32a+16=7a²+8a
9a²-40a+16=0
D=1600-576=1024=32²
a=(40+32)/18=4
b=4*4-4=12
c=7*4+8=36
или
a=(40-32)/18=8/18=4/9
b=4*4/9-4=16/9-4=-20/9
c=7*4/9+8=28/9+8=(28+72)/9=100/9
ответ: 4;12;36 или 4/9;-20/9;100/9
D = b² - 4ac
D = (2(k+1))² - 4*1*(k+3) = 4*k² + 8*k + 4 - 4*k - 12 = 4*k² + 4*k - 8
как было сказано - дискриминант должен быть больше нуля
4*k² + 4*k - 8 > 0 разделим на 4 (или преобразуем его к приведенному виду)
k² + k - 2 > 0 по теореме Виета корни его -2 и 1т.к. коэффициент при k² положительный ветки параболы смотрят вверх
и функция k² + k - 2 меняет знак в своих конях -2 и 1, поэтому
D > 0 при k < -2 и k > 1
Уравнение имеет два корня при k < -2 и k > 1