В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y' = (arcsin x)'=
1
√
1-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-
π
2
maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=
π
2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-
По краю одной стороны расположено 30 квадратиков. По краю всех 4 сторон 30*4-4 = 4*29 = 116 квадратиков. Возьмем слой на 1 квадратик вглубь. Вдоль одной стороны 28 квадратиков, вдоль всех 4 сторон 4*27 = 108. Возьмем слой на 2 квадратика вглубь. Вдоль одной стороны 26 квадратиков, вдоль всех 4 сторон 4*25 = 100. Возьмем слой на 3 квадратика вглубь. Вдоль одной стороны 24 квадратика, вдоль всех 4 сторон 4*23 = 92. Это все квадратики, у которых расстояние до стороны меньше 3 см. Их всего 116 + 108 + 100 + 92 = 416 квадратиков. Остальных 900 - 416 = 484 квадратика. Вероятность равна 484/900 = 121/225
Пример 1
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y' = (arcsin x)'=
1
√
1-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-
π
2
maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=
π
2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
].
ответ: E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
По краю всех 4 сторон 30*4-4 = 4*29 = 116 квадратиков.
Возьмем слой на 1 квадратик вглубь.
Вдоль одной стороны 28 квадратиков, вдоль всех 4 сторон 4*27 = 108.
Возьмем слой на 2 квадратика вглубь.
Вдоль одной стороны 26 квадратиков, вдоль всех 4 сторон 4*25 = 100.
Возьмем слой на 3 квадратика вглубь.
Вдоль одной стороны 24 квадратика, вдоль всех 4 сторон 4*23 = 92.
Это все квадратики, у которых расстояние до стороны меньше 3 см.
Их всего 116 + 108 + 100 + 92 = 416 квадратиков.
Остальных 900 - 416 = 484 квадратика.
Вероятность равна 484/900 = 121/225