Для построения графика квадратичноой функции существует алгоритм:
1. Найти координаты вершины параболы по формулам:
х₀ = -b/(2a); для нахождения у₀ нужно в формулу, которой задана функция, подставить вместо переменной х найденное значение х₀ и подсчитать, т.е. построить точку (х₀; у₀).
2. Записать уравнение оси симметрии параболы: х = х₀.
3. Найти координаты точек пересечения с осями координат:
с осью Оу: х = 0, у = с, т.е. точка (0; с);
с осью Ох: у = 0, решить уравнение ах² + bх + с = 0 и записать
координаты точек (если дискриминат D >= 0): (х₁; 0) и (х₂; 0).
Если у квадратного уравнения нет корней, т.е. график функции не пересекает ось Ох, то можно взять какие-нибудь дополнительные точки.
4. Построить точку, симметричную относительно оси симметрии точке пересечения с осью Оу.
Функция линейная, если наивысшая степень при переменной равна 1, то есть представима в виде u = a*t + b Поэтому, если нам удастся представить нашу функцию в таком виде, значит нам удастся доказать линейность предложенной функции. Разложим числитель и знаменатель предложенной функции на элементарные множители t^4 - 8*t^2 + 16 = (t^2 - 4)^2 = (t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2) (t+2)*(t^2-4) = (t+2)*(t+2)*(t-2) Таким образом, наша функция имеет вид u=(t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)/(t+2)*(t+2)*(t-2). А вот теперь ЕСЛИ сомножитель в знаменателе ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ, на него можно сократить, после сокращения получим u=t-2 то есть в самом деле функция линейная, при этом а=1, b=-2. ОДНАКО, она линейная ТОЛЬКО если действительно наше предположение, то есть при условии t#+-2(при этих значениях некоторые сомножители знаменателя обращаются в 0, а на 0 делить нельзя!). Таким образом ответ u=t-2 , область определения t#+-2
Гораздо интереснее ответить на вопрос А что же с функцией происходит в этих особых точках? В нашем случае всё замечательно, значения исходной функции в этих точках НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ОДНАКО пределы как слева, так и справа существуют и равны друг другу. То есть функция практически непрерывная и гладкая, такие функции можно ДОПОЛНИТЬ двумя точками(значения пределов) и функция становится совсем линейной. в нашем случае можно ДОПОЛНИТЬ таким образом u(-2)=-4 u(2)= 0 но это уже совсем другая история и к решению нашей исходной задачи, вообще говоря, не имеет никакого отношения.
Парабола - это график квадратичной функции.
Она задается формулой у = ах² + bх + с (а ≠ 0).
Для построения графика квадратичноой функции существует алгоритм:
1. Найти координаты вершины параболы по формулам:
х₀ = -b/(2a); для нахождения у₀ нужно в формулу, которой задана функция, подставить вместо переменной х найденное значение х₀ и подсчитать, т.е. построить точку (х₀; у₀).
2. Записать уравнение оси симметрии параболы: х = х₀.
3. Найти координаты точек пересечения с осями координат:
с осью Оу: х = 0, у = с, т.е. точка (0; с);
с осью Ох: у = 0, решить уравнение ах² + bх + с = 0 и записать
координаты точек (если дискриминат D >= 0): (х₁; 0) и (х₂; 0).
Если у квадратного уравнения нет корней, т.е. график функции не пересекает ось Ох, то можно взять какие-нибудь дополнительные точки.
4. Построить точку, симметричную относительно оси симметрии точке пересечения с осью Оу.
Итак, для построения параболы хватит 5 точек.
См. в качестве примера рисунок
Поэтому, если нам удастся представить нашу функцию в таком виде, значит нам удастся доказать линейность предложенной функции.
Разложим числитель и знаменатель предложенной функции на элементарные множители
t^4 - 8*t^2 + 16 = (t^2 - 4)^2 = (t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)
(t+2)*(t^2-4) = (t+2)*(t+2)*(t-2)
Таким образом, наша функция имеет вид
u=(t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)/(t+2)*(t+2)*(t-2).
А вот теперь ЕСЛИ сомножитель в знаменателе ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ, на него можно сократить, после сокращения получим
u=t-2
то есть в самом деле функция линейная, при этом а=1, b=-2.
ОДНАКО, она линейная ТОЛЬКО если действительно наше предположение, то есть при условии t#+-2(при этих значениях некоторые сомножители знаменателя обращаются в 0, а на 0 делить нельзя!).
Таким образом ответ
u=t-2 , область определения t#+-2
Гораздо интереснее ответить на вопрос А что же с функцией происходит в этих особых точках? В нашем случае всё замечательно, значения исходной функции в этих точках НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ОДНАКО пределы как слева, так и справа существуют и равны друг другу. То есть функция практически непрерывная и гладкая, такие функции можно ДОПОЛНИТЬ двумя точками(значения пределов) и функция становится совсем линейной.
в нашем случае можно ДОПОЛНИТЬ таким образом
u(-2)=-4
u(2)= 0
но это уже совсем другая история и к решению нашей исходной задачи, вообще говоря, не имеет никакого отношения.