Три числа з яких третє дорівнює -8, утворюють геометричну прогресію. Якщо перші два числа залишити без змін, а замість третього взяти -6, то нова трійка чисел утворить арифметичну прогресію. Знайдіть числа, які утвоюють геометричну прогресію.

1)  (a+6)(a-9)>(a+11)(a-14)

  a²+6a-9a-54>a²+11a-14a-154

  a²+6a-9a-54-(a²+11a-14a-154)>0

  a²+6a-9a-54-a²-11a+14a+154>0

            100>0 верное неравенство при любом значении переменной а.

                  Доказано.

2) (a-10)²-12<(a-7)(a-13)

   a²-20a+100-12<a²-7a-13a+91

   a²-20a+88<a²-20a+91

  a²-20a+88-(a²-20a+91)<0

   a²-20a+88-(a²-20a+91)<0

   a²-20a+88-a²+20a-91<0

               -3<0  верное неравенство при любом значении переменной а.

                  Доказано.

3) (4a-1)(4a+1)-(5a-7)²<14·(5a-1)

   16a²-1-(25a²-70a+49)<70a-14

   16a²-1-25a²+70a-49<70a-14

   -9a²+70a-50<70a-14

  -9a²+70a-50-(70a-14)<0

  -9a²+70a-50-70a+14<0

  -9a²-36<0

  -9·(a²+4)<0  | : (-9) делим обе части на на отрицательное число, при этом знак неравенства изменяется на противоположный.

  -9·(a²+4) : (-9) > 0:(-9)

       a²+4 > 0 верное неравенство при любом значении переменной а.

                  Доказано.

1) х1 = - √13;  Второй корень может быть равен  √13, потому что в квадратном уравнении произведение корней равно свободному члену. В этом случае свободный член будет рациональным , то есть равен - 13.

(х - √13)(х + √13) = 0

х² - 13 = 0  квадратное уравнение с рациональными коэффициентами

2) х1 = √7 Аналогично получим второй корень х2 = -7 и уравнение

х² - 7 = 0.

3) х1 = 3 - √5 . И в этом случае 2-й корень равен  х2 = 3 + √5

Тогда сумма корней равна 2-му коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, то есть b = - (3 - √5 + 3 + √5) = - 6

А произведение корней равно свободному члену

c = (3 - √5)(3 + √5) = 9 - 5 = 4

И уравнение имеет вид: х² - 6х + 4 = 0