(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0
Замена x^2 - 2x = y
y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0
Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.
При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.
D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2
При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.
y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3
y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1
Обратная замена
1) x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x1 = -1; x2 = 3
2) x^2 - 2x = a-1
x^2 - 2x + 1 - a = 0
D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a
x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a
x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a
При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.
При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.
При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.
3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.
1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)
пусть собственная скорость катера равна х, значит, по озеру катер шел со скоростью х км/ч. А по течению реки катер шел со скоростью (х + 3) км/ч.
Выразим время движения катера по течению реки: t = S/v; 5/(х + 3).
Выразим время движения катера по озеру: 8/х.
Так на все он потратил 1 час, составляем уравнение:
5/(х + 3) + 8/х = 1;
(5х + 8х + 24)/х(х + 3) = 1;
(13х + 24)/(х² + 3х) = 1.
По правилу пропорции: х² + 3х = 13х + 24;
х² + 3х - 13х - 24 = 0;
х² - 10х - 24 = 0.
D = 100 + 96 = 196 (√D = 14);
х1 = (10 - 14)/2 = -2 (не подходит).
х2 = (10 + 14)/2 = 12 (км/ч) - собственная скорость катера.
Тогда скорость по течению будет равна х + 3 = 12 + 3 = 15 (км/ч).
ответ: скорость катера по течению равна 15 км/ч.
(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0
Замена x^2 - 2x = y
y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0
Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.
При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.
D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2
При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.
y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3
y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1
Обратная замена
1) x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x1 = -1; x2 = 3
2) x^2 - 2x = a-1
x^2 - 2x + 1 - a = 0
D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a
x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a
x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a
При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.
При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.
При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.
3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.
1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)
пусть собственная скорость катера равна х, значит, по озеру катер шел со скоростью х км/ч. А по течению реки катер шел со скоростью (х + 3) км/ч.
Выразим время движения катера по течению реки: t = S/v; 5/(х + 3).
Выразим время движения катера по озеру: 8/х.
Так на все он потратил 1 час, составляем уравнение:
5/(х + 3) + 8/х = 1;
(5х + 8х + 24)/х(х + 3) = 1;
(13х + 24)/(х² + 3х) = 1.
По правилу пропорции: х² + 3х = 13х + 24;
х² + 3х - 13х - 24 = 0;
х² - 10х - 24 = 0.
D = 100 + 96 = 196 (√D = 14);
х1 = (10 - 14)/2 = -2 (не подходит).
х2 = (10 + 14)/2 = 12 (км/ч) - собственная скорость катера.
Тогда скорость по течению будет равна х + 3 = 12 + 3 = 15 (км/ч).
ответ: скорость катера по течению равна 15 км/ч.