Объяснение:
ДАНО:Y(x) = x^3 -12*x² +36*x +()
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) = R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая
2. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-6)*(x-6)
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =6, Х₃ =6
3. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0]. Положительная -Y(x)>0 X∈[0;+∞)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
6. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -24*x + 36 = 0
Корни Y'(x)=0. Х4=2 Х5=6
Положительная парабола - отрицательная между корнями
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(X4=2) =32. Минимум Ymin(X5=6) =0
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;2;]U[6;+∞) , убывает - Х∈[2;6]
9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -24 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=4
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=4]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=4; +∞).
11. График в приложении.
Дополнительно: шаблон для описания графика.
(x² - x + 1)⁴ - 6x²(x² - x +1)² + 5x⁴ = 0
(x² - x + 1)² = y
y² - 6x²y + 5x⁴ = 0
D = (6x²)² - 4*5x⁴ = 16x⁴
y₁₂ = (6x² +- 4x²)/2 = x² 5x²
1. y = x²
(x² - x + 1)² = x²
(x² - x + 1)² - x² = 0
(x² - x + 1 - x)(x² - x + 1 + x) = 0
(x - 1)²(x² + 1) = 0
x = 1
x² + 1 = 0 нет действительных решений
2. y = 5x²
(x² - x + 1)² = 5x²
(x² - x + 1)² - 5x² = 0
(x² - x + 1 - √5x)(x² - x + 1 + √5x) = 0
x² - x + 1 - √5x = 0
x² - x(1 + √5) + 1 = 0
D = (1 + √5)² - 4 = 2 + 2√5
x₁₂ = (1 +√5 +- √(2 + 2√5))/2
x² - x + 1 + √5x = 0
x² - x(1 - √5) + 1 = 0
D = (1 - √5)² - 4 = 2 - 2√5 < 0 нет действительных решений
ответ 1, (1 +√5 ± √(2 + 2√5))/2
Объяснение:
ДАНО:Y(x) = x^3 -12*x² +36*x +()
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) = R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая
2. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-6)*(x-6)
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =6, Х₃ =6
3. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0]. Положительная -Y(x)>0 X∈[0;+∞)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
6. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -24*x + 36 = 0
Корни Y'(x)=0. Х4=2 Х5=6
Положительная парабола - отрицательная между корнями
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(X4=2) =32. Минимум Ymin(X5=6) =0
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;2;]U[6;+∞) , убывает - Х∈[2;6]
9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -24 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=4
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=4]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=4; +∞).
11. График в приложении.
Дополнительно: шаблон для описания графика.
(x² - x + 1)⁴ - 6x²(x² - x +1)² + 5x⁴ = 0
(x² - x + 1)² = y
y² - 6x²y + 5x⁴ = 0
D = (6x²)² - 4*5x⁴ = 16x⁴
y₁₂ = (6x² +- 4x²)/2 = x² 5x²
1. y = x²
(x² - x + 1)² = x²
(x² - x + 1)² - x² = 0
(x² - x + 1 - x)(x² - x + 1 + x) = 0
(x - 1)²(x² + 1) = 0
x = 1
x² + 1 = 0 нет действительных решений
2. y = 5x²
(x² - x + 1)² = 5x²
(x² - x + 1)² - 5x² = 0
(x² - x + 1 - √5x)(x² - x + 1 + √5x) = 0
x² - x + 1 - √5x = 0
x² - x(1 + √5) + 1 = 0
D = (1 + √5)² - 4 = 2 + 2√5
x₁₂ = (1 +√5 +- √(2 + 2√5))/2
x² - x + 1 + √5x = 0
x² - x(1 - √5) + 1 = 0
D = (1 - √5)² - 4 = 2 - 2√5 < 0 нет действительных решений
ответ 1, (1 +√5 ± √(2 + 2√5))/2