все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии
Степени двойки: 2 4 8 16 32 64... то есть последние цифры чисел идут в следующем порядке : 2 4 8 6, 2 4 8 6, ... т.е. через каждые 4 номера последняя цифра числа повторяется. 2013= 2012+1 - тогда 2^2013 кончается на 2. аналогично с остальными.
степени 7: 7 49 ... кончаются на 7 9 3 1, 7 9 3 1... последняя цифра аналогично повторяется каждые 4 степени, 2014=2012+2 - тогда 7^2014 кончается на 9
степени 9: 9 81 729... последние цифры: 9 1, 9 1, 9 1... повторяются каждые 2 степени. то есть 9 в четной степени кончается на 1, в нечетной - на 9, 9^2015 - кончается на 9.
Теперь определим последнюю цифру получаемого числа, сложив последние цифры этих чисел: 2+9+9=20 - кончается на 0, значит и сумма этих трех кончается на 0, значит, само число делится на 10
а)
√(4-x) , √(2x-2) , 4 являются последовательными членами геометрической прогрессии
... a_(n) , a_(n+1) ,a_(n+2 ) ...
a_(n+1)² =a_(n)*a_(n+2) _характеристическое свойство геометрической прогрессии .
{ 4-x >0 ; 2x-2 >0 ; (√(2x-2) )² = 4*√(4-x) .⇔{ 1 < x < 4 ; 2x -2 = 4*√(4-x) . ⇔ { x∈ (1 ; 4) ; x -1 = 2*√(4-x) . ⇔ { x∈ (1 ; 4) ; (x -1)² = 4*(4-x) .
(x -1)² = 4*(4-x) ;
x² -2x +1 = 16 - 4x ;
x² +2x - 15 =0 ; * * * x = -1±√(1+15) * * *
x₁ = -1 - 4 = -5 ∉ (1,4) ;
x₂ = -1+4 = 3 . * * * √(4-x) =1 , √(2x-2) =2 , 4 * * *
ответ : 3
б)
...√(2x-2) , √(4-x) , 4 ...
(√(4-x) )² =4√(2x-2) ;
4 - x = 4√(2x-2) ;
16 -8x +x² =16(2x-2) ;
x² - 40x +48 =0 ;
x =20 ±√(20² -48) ;
x =20 ±4√22 ;
x₁ =20 + 4√22 ∉ (1,4) ;
x₂ = 20 - 4√22 ≈ 1,24 .
ответ : 4(5 -√22 ).
в)
...√(2x-2) , 4 , √(4-x)... * * * или ...√(4-x) , 4 , .√(2x-2) ...
4² = √(2x-2) *√(4-x) ⇔ 16 = -2x² +10x -8 ⇔ 2x² -10x +24 =0 ⇔ x² -5x +12 =0
D =5² -4*12 =25 -48 = -23 <0 _не имеет действительных корней.
то есть последние цифры чисел идут в следующем порядке : 2 4 8 6, 2 4 8 6, ... т.е. через каждые 4 номера последняя цифра числа повторяется. 2013= 2012+1 - тогда 2^2013 кончается на 2. аналогично с остальными.
степени 7: 7 49 ... кончаются на 7 9 3 1, 7 9 3 1... последняя цифра аналогично повторяется каждые 4 степени, 2014=2012+2 - тогда 7^2014 кончается на 9
степени 9: 9 81 729... последние цифры: 9 1, 9 1, 9 1... повторяются каждые 2 степени. то есть 9 в четной степени кончается на 1, в нечетной - на 9, 9^2015 - кончается на 9.
Теперь определим последнюю цифру получаемого числа, сложив последние цифры этих чисел:
2+9+9=20 - кончается на 0, значит и сумма этих трех кончается на 0, значит, само число делится на 10