Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т.к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).
Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т.к. В - тоже корень многочлена P(x), то P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т.е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.
Из того что речь идет о лидере, о занявшем второе место, о занявшем четвертое место среди пяти участников следует, что все они набрали разное число очков, ни одно место не было поделено между участниками турнира
Лидер не сделал ни одной ничьей - значит у него 4 поражения, либо 1 победа и 3 поражения, либо 2 победы и 2 поражения, либо 3 победы и 1 поражение, либо 4 победы, (соответственно 0, 1, 2 ,3 или 4 очка)
Так как занявший второй место не проигрывал ни одной партии, т.е. играя либо на выигрыш, либо вничью набрал либо 4 ничьих (2 очка), либо 3 ничьих 1 победу (2.5 очка), либо 2 ничьих 2 победы (3 очка), либо 1 ничья 3 победы (3.5 очка), либо 4 победы (4 очка), то у второго минимум 2 очка
Значит лидер (очевидно набрал больше чем занявший второе место, иначе бы они разделили лидерство), набрал либо 3 очка, либо 4 очка.
Но так как второй не проиграл первому, и они не сыграли вничью (так как первый не сыграл ни одну ничью, а ничья для первого - равносильно ничьей для второго в их партии), то лидер проиграл партию второму и его итог 3 очка (3 победы 1 поражение(второму по счету))
итак у второго 1 победа (у первого) и он набрал меньше 3 очков, значит он набрал 2.5 очка (победа над первым, 3 ничьих с остальными)
Далее четвертый игрок не выиграл ни одной партии , т.е. либо проигрывал, либо играл вничью, варианты 4 проигрыша (0 очков), 3 проигрыша и одна ничья (0.5 очка), 2 проигрыша и две ничьи (1 очко), 1 проигрыша и 3 ничьих (1.5 очка), 4 ничьих (2 очка) вариант 4 проигрышей невозможен, потому что четвертое место должно принести больше очков чем пятое. Так как у четвертого проигрыш первому то вариант 4 ничьих невозможен
если четвертый сыграл 3 проигрыша 1 ничью (0.5 очей), то пятый проиграл все партии (0 очей), но это невозможно так как пятый сыграл со вторым в ничью.
если четвертый сыграл 2 проигрыша и 2 ничьих (1 очко), то с учетом что у пятого 0 очей быть не может изза ничьи со вторым, и должно быть меньше чем у четвертого то у пятого 0.5 очей, что значит, что пятый проиграл первому, ничья со вторым, а значит остальные - с третьим и четвертым проиграл, но четвертый не мог выиграть у пятого, значит вариант невозможен
если четвертый сыграл 1 проигрыш и 3 ничьих (1.5 очка), то это значит что у второго 2 очка (больше 1.5 у четвертого меньше чем 2.5 у второго) тогда третий проигрывавший партию первому , ничья со вторым и четвертым (1 очко) должен был выиграть у пятого тогда у пятого поражение первому, ничья со вторым, ничья с четвертым, и поражение третьему (1 очко)
итого получаем ЛИДЕР (проигрыш второму, с третьим, четвертым, пятым - победа) - 3 очка ВТОРОЕ МЕСТО (выигрыш у первого, третьим, четвертым, пятым -ничья) -2.5 очка ТРЕТЬЕ МЕСТО (проигрыш у первого, выигрыш у пятого, ничья со вторым и четвертым) - 2 очка ЧЕТВЕРТОЕ МЕСТО (проигрыш первому, с вторым, третьим и пятым - ничья) - 1.5 очка ПЯТОЕ МЕСТО (поражение первому и третьему, ничья с вторым и четвертым) - 1 очко
Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т.к. В - тоже корень многочлена P(x), то P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т.е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.
Лидер не сделал ни одной ничьей - значит у него 4 поражения, либо 1 победа и 3 поражения, либо 2 победы и 2 поражения, либо 3 победы и 1 поражение, либо 4 победы, (соответственно 0, 1, 2 ,3 или 4 очка)
Так как занявший второй место не проигрывал ни одной партии, т.е. играя либо на выигрыш, либо вничью набрал либо 4 ничьих (2 очка), либо 3 ничьих 1 победу (2.5 очка), либо 2 ничьих 2 победы (3 очка), либо 1 ничья 3 победы (3.5 очка), либо 4 победы (4 очка), то у второго минимум 2 очка
Значит лидер (очевидно набрал больше чем занявший второе место, иначе бы они разделили лидерство), набрал либо 3 очка, либо 4 очка.
Но так как второй не проиграл первому, и они не сыграли вничью (так как первый не сыграл ни одну ничью, а ничья для первого - равносильно ничьей для второго в их партии), то лидер проиграл партию второму и его итог 3 очка (3 победы 1 поражение(второму по счету))
итак у второго 1 победа (у первого) и он набрал меньше 3 очков, значит он набрал 2.5 очка (победа над первым, 3 ничьих с остальными)
Далее четвертый игрок не выиграл ни одной партии , т.е. либо проигрывал, либо играл вничью, варианты 4 проигрыша (0 очков), 3 проигрыша и одна ничья (0.5 очка), 2 проигрыша и две ничьи (1 очко), 1 проигрыша и 3 ничьих (1.5 очка), 4 ничьих (2 очка)
вариант 4 проигрышей невозможен, потому что четвертое место должно принести больше очков чем пятое.
Так как у четвертого проигрыш первому то вариант 4 ничьих невозможен
если четвертый сыграл 3 проигрыша 1 ничью (0.5 очей), то пятый проиграл все партии (0 очей), но это невозможно так как пятый сыграл со вторым в ничью.
если четвертый сыграл 2 проигрыша и 2 ничьих (1 очко), то с учетом что у пятого 0 очей быть не может изза ничьи со вторым, и должно быть меньше чем у четвертого то у пятого 0.5 очей, что значит, что
пятый проиграл первому, ничья со вторым, а значит остальные - с третьим и четвертым проиграл, но четвертый не мог выиграть у пятого, значит вариант невозможен
если четвертый сыграл 1 проигрыш и 3 ничьих (1.5 очка), то это значит что у второго 2 очка (больше 1.5 у четвертого меньше чем 2.5 у второго)
тогда третий проигрывавший партию первому , ничья со вторым и четвертым (1 очко) должен был выиграть у пятого
тогда у пятого поражение первому, ничья со вторым, ничья с четвертым, и поражение третьему (1 очко)
итого получаем
ЛИДЕР (проигрыш второму, с третьим, четвертым, пятым - победа) - 3 очка
ВТОРОЕ МЕСТО (выигрыш у первого, третьим, четвертым, пятым
-ничья) -2.5 очка
ТРЕТЬЕ МЕСТО (проигрыш у первого, выигрыш у пятого, ничья со вторым и четвертым) - 2 очка
ЧЕТВЕРТОЕ МЕСТО (проигрыш первому, с вторым, третьим и пятым - ничья) - 1.5 очка
ПЯТОЕ МЕСТО (поражение первому и третьему, ничья с вторым и четвертым) - 1 очко