Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
x_{0}=-\frac{b}{2a}
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
y_{0}=-\frac{D}{4a},
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)
Давайте решим это неравенство с графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при \small x\in \left ( -\infty ;-2 \right ]\cup \left [ 5;+\infty \right ).
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
ответ: \small \left ( -\infty ,+\infty \right ).
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
x_{0}=-\frac{b}{2a}
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
y_{0}=-\frac{D}{4a},
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)
Давайте решим это неравенство с графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при \small x\in \left ( -\infty ;-2 \right ]\cup \left [ 5;+\infty \right ).
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
ответ: \small \left ( -\infty ,+\infty \right ).
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
ответ: 6.