Задача. Сколько действительных корней имеет уравнение
Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:
ответ запишите в виде: где — число корней, — номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень.
Решение. Вынесем общий множитель за скобки:
Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
Видя последнее уравнение, понимаем, что искать все его корни не нужно. Этого и не требуют в задании.
Рассмотрим функцию
1) Область определения:
2) Исследуем данную функцию на четность:
Функция не обладает свойством четности. Она ни четная, ни нечетная.
3) Определим нули функции.
3.1. Пересечение с осью
Невозможно дать точный ответ.
3.2. Пересечение с осью
Значит, — точка пересечения с осью
4) Найдем производную функции:
5) Определим критические точки функции, приравняв производную к нулю:
Определим точки экстремума и экстремумы функции:
Итак:
6) Изобразим схематически график функции, строго соблюдая все найденные точки, монотонность функции и симметрию линий около критических точек (см. вложение).
Выводы. Как видно из графика, из уравнения имеем три действительных корня, наименьший из которых находится в интервале Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Рассмотрим сразу числитель: sin 10 cos 55 + sin 280 sin 55 = sin 10 cos 55 + sin (270 + 10) sin 55 = [формулы приведения] = sin 10 cos 55 + (-cos 10) sin 55 = [sin (a-b) = sin a cos b - sin b cos a] = sin (10 - 55) = sin (-45) = - sin 45 = -√2/2 Знаменатель: sin 10 cos 110 + sin 260 cos 200 = sin 10 cos (90 + 20) + sin (270 - 10) cos (180 +20) = sin 10 (-sin 20) + (-cos 10) (-cos 20) = cos 10 cos 20 - sin 20 sin 10 = [cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b] = cos (10+20) = cos 30 = √3/2 Все выражение: √6 * (-√2/2) / (√3/2) = -√6*√2*2 / (2√3) = -√2 * √2 = -2
Задача. Сколько действительных корней имеет уравнение![2x^{4} - 3x^{3} - 12x^{2} + 12x = 0?](/tpl/images/2009/5206/38a4b.png)
Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:
ответ запишите в виде:
где
— число корней,
— номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень.
Решение. Вынесем общий множитель
за скобки:
Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
Видя последнее уравнение, понимаем, что искать все его корни не нужно. Этого и не требуют в задании.
Рассмотрим функцию![f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12.](/tpl/images/2009/5206/c636f.png)
1) Область определения:![D(f) = (-\infty; ~ {+}\infty).](/tpl/images/2009/5206/702c6.png)
2) Исследуем данную функцию на четность:
Функция не обладает свойством четности. Она ни четная, ни нечетная.
3) Определим нули функции.
3.1. Пересечение с осью![x \colon](/tpl/images/2009/5206/93fc7.png)
Невозможно дать точный ответ.
3.2. Пересечение с осью![y \colon](/tpl/images/2009/5206/930e8.png)
Значит,
— точка пересечения с осью ![y.](/tpl/images/2009/5206/66471.png)
4) Найдем производную функции:
5) Определим критические точки функции, приравняв производную к нулю:
Определим точки экстремума и экстремумы функции:
Итак:
6) Изобразим схематически график функции, строго соблюдая все найденные точки, монотонность функции и симметрию линий около критических точек (см. вложение).
Выводы. Как видно из графика, из уравнения
имеем три действительных корня, наименьший из которых находится в интервале
Таким образом, уравнение
имеет четыре действительных корня.
ответ:![4, ~ 2.](/tpl/images/2009/5206/b0334.png)
sin 10 cos 55 + sin 280 sin 55 = sin 10 cos 55 + sin (270 + 10) sin 55 = [формулы приведения] = sin 10 cos 55 + (-cos 10) sin 55 = [sin (a-b) = sin a cos b - sin b cos a] = sin (10 - 55) = sin (-45) = - sin 45 = -√2/2
Знаменатель:
sin 10 cos 110 + sin 260 cos 200 = sin 10 cos (90 + 20) + sin (270 - 10) cos (180 +20) = sin 10 (-sin 20) + (-cos 10) (-cos 20) = cos 10 cos 20 - sin 20 sin 10 = [cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b] = cos (10+20) = cos 30 = √3/2
Все выражение:
√6 * (-√2/2) / (√3/2) = -√6*√2*2 / (2√3) = -√2 * √2 = -2