Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил - вопрос №12693244 от petuhovoleg22 11.12.2022 06:03

Question

Алгебра: Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике за год, равно 20. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок – 10, двоек, троек, четверок по 3. Одна оценка не записана. Когда школьник с об этой оценке у учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок – число целое. Какая оценка не записана у ученика

petuhovoleg22 · Answer

Посчитаем сначала количество чисел, записываемых цифрами от до , а затем из этого числа вычтем те, среди которых есть четыре идущих подряд. Сразу заметим, что если в таком числе есть четыре подряд идущих числа, то и в самом числе они должны идти подряд.

Выпишем числа от до : 1,2,3,4,5,6,7,8 . Любые $j,\; j\in \overline{0,7}$ вычеркнутых цифры оставят число, в котором цифры идут по возрастанию. Наоборот, любое такое число может быть получено описанной операцией. Число вычеркнуть: $\sum\limits_{j=0}^{7}\binom{8}{j} = 2^{8}-1$ .

Теперь посчитаем количество тех, в которых есть четыре подряд идущих. В этом случае мы можем вычеркивать только из -ех оставшихся чисел. Поскольку четверок подряд идущих , то всего искомых чисел $5\cdot \sum\limits_{j=0}^{4}\binom{4}{j} = 5\cdot 2^{4}$ .

Итого $2^8-1-5\cdot 2^4 = 256-1-80 = 175$ .