Чтобы найти корни х²+рх+р-3=0 надо найти его дискриминант D₁ = b² - 4ac = p² - 4*1*(p-3) = p² - 4p +12 если дискриминант D₁ положителен, то будет два решения.
Поэтому осталось доказать, что уравнение p² - 4p +12 всегда больше нуля p² - 4p +12 > 0 , т.е. не имеет корней или иначе его дискриминант D₂ отрицательный D₂ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*12 = 16 - 48 = -32 значит уравнение p² - 4p +12 ( которое равно D₁ ) всегда положительно поэтому всегда существуют два корня исходного уравнения х²+рх+р-3=0 D₁ > 0 при любых p x₁ = ( -b + √D₁ ) / 2a x₂ = ( -b - √D₁ ) / 2a
Объяснение:
Графиком функции является парабола;
множитель при х² меньше нуля - ветви вниз.
Область определения: значение функции (у) может быть определено для любого значения аргумента (х)
D(y) = R
Точки экстремума (точки, в которых производная обращается в 0 или не определена:
y' = (-x^2+4)' \\ y'=-2x +0 =-2x
Найдем значение х для у'=0
Для любого х > 0 у < 4
Для любого х < 0 у < 4
Точка (0;4) - точка максимума фунции.
Нижняя граница области значений функции отсутствует.
Следовательно, Область значений функции
E(y): y \in (- \inf ; 4]
D₁ = b² - 4ac = p² - 4*1*(p-3) = p² - 4p +12
если дискриминант D₁ положителен, то будет два решения.
Поэтому осталось доказать, что уравнение p² - 4p +12 всегда больше нуля
p² - 4p +12 > 0 , т.е. не имеет корней
или иначе его дискриминант D₂ отрицательный
D₂ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*12 = 16 - 48 = -32
значит уравнение p² - 4p +12 ( которое равно D₁ ) всегда положительно
поэтому всегда существуют два корня исходного уравнения х²+рх+р-3=0
D₁ > 0 при любых p
x₁ = ( -b + √D₁ ) / 2a
x₂ = ( -b - √D₁ ) / 2a